授人以渔者，鲜矣哉！何也？丨《小学数学教学探索·习题篇：习题的思考与作答》结语

按：

吾道不孤！

人民日报曾刊文《教育改革应从家长教育开始！》，其核心观点是：

“中国家长应当首先补上家庭教育这一课；教育改革，首先应当从改变家长入手，让家长们明白自己的责任，树立正确的人才观，真正懂得如何引导孩子成长成才。”

有一篇传播极广的文章引用了人民日报这篇文章并随附了一些精辟的见解：

七种情况，造成家长对家庭教育不上心：
1、认为孩子教育是学校的事情，与自己教育不教育关系不大。
2、认为自己忙，身心憔悴，无暇顾及孩子的学习，心力不足。
3、认为家庭教育是空洞理论，是听起来好听，用起来不管用。
4、认为树大自然直，对孩子放任之流，顺其自然，过问不多。
5、认为家庭教育就是学习的教育，学习的教育就是做作业，上补习班。
6、认为家庭教育就是让孩子们上各种辅导班，音乐、美术、弹钢琴等。
7、认为家庭教育就是提要求，至于怎么学习，不知道，也不愿意探究。
处于今天的信息时代，我们的家长不学习，很难教育好孩子。因为身处急功近利的时代，很多人心浮气躁，跟着社会思潮走，被大众化思潮裹挟，缺乏理性思考，和长远的眼光。那么怎样做一名优秀的家长呢？请你针对以下，看看自己是什么样的家长？
第一层次：舍得给孩子花钱。
第二层次：舍得为孩子花时间。
第三层次：家长开始思考教育的目标问题。
第四层次：家长为了教育孩子而提升和完善自己。
第五层次：父母尽己所能支持鼓励孩子成为最好的自己，也以身作则支持孩子成为真正的自己。
看到这些，你是不是觉得自己该学习了，该提高自己了？
——转引自《人民日报：教育改革要从家长教育开始！强烈推荐！》

以上观点与我提出的“学做家长”——“家长并非仅仅一个基于血缘关系的身份而且更是一个需要学习才能胜任的角色”——的理念和口号非常契合。

《小学数学“教-学”探索·习题篇：习题的思考与作答》这本小册子是在思考了“第三层次”后在“第四层次”上做出努力的成果，说呕心沥血可能有点夸张，但说殚精竭虑则一点儿都不为过。

本着“幼吾幼以及人之幼”的仁道精神，特将这本小册子在本公号推送，以供有心的家长和孩子研习。

这本小册子有多大价值，有待诸君以自己的鉴赏力去判断。我在“学做家长”系列的文章中一再强调“‘合格家长’的‘自我修养’”，其中核心的一点就是家长要修炼自己的“鉴赏力”。

作为创作者，我当然认为这本小册子的价值极大甚至不可估量。所以，请允许我以这篇“结语”来一番“王婆卖瓜”吧。

正文

一

《小学数学“教-学”探索·习题篇：习题的思考与作答》是在一段非常成功的“教-学”实践【详见：……前言……】的基础上经过经验总结和理论思考而提炼出的一本小册子。

其主旨：

在于“通过对习题解题思路的探索/思考的方法和过程的具体而微的展示引导孩子学会自主思考——生发自主思考的勇气、建立自主思考的信心、领会自主思考的方法”——也即“授人以渔”；

而非“直接传授习题的解题思路（并——或有——对解题思路稍做些解释说明以助理解）”——也即“授人以鱼”。

二

所谓“授人以鱼不如授人以渔”，这是人所共知的道理。

然而，现实却是：

授人以鱼者，多矣；授人以渔者，鲜矣哉。

网上随便一搜就有很多所谓名师或者学霸的“小学数学思维提升”的课程，课程内容就是讲解题目，而所谓讲解就是直接传授解题思路——好一点的还对解题思路稍作解释说明以辅助理解，而罕有展示得到解题思路的探索/思考的方法和详尽过程的。

为什么会这样？

老实说，我没想明白。所以只能略作讨论，或者说做一些猜想。

第一，“传统”之惯性使然。

这里的“传统”涉及三个方面：世界通病的大传统，中国特色的中传统，陈陈相因的小传统。以下分别对其阐述。

其一，世界通病的大传统。

美国学者杰森·威尔克斯（Jason Wilkes）在其一本书名极具冲攻击力的著作《Burn math class》（湖南科学技术出版社，中译本，《烧掉数学书：重新发明数学》）中有一段论述：

在各个层次的数学课程中，从小学到博士后水平，都缺失了重要的一环，就是对模糊和混乱的创造过程的忠实描述，而这个缺失是数学课让最积极的学生也感到厌倦的主要原因之一。如果对数学概念创造过程中的思想之舞没有深刻认识，就无法充分领悟数学的优雅和美丽。这个过程不像看上去那样难，但是需要彻底改变我们讲授数学的方式。我们需要在教科书中至少纳入一些错误的假设、推理和结论，让学习者在接触现代形式的定义之前体验到这些。我们需要像讲故事一样写教科书，让书中的角色经常被难住，不知道下一步该往哪里走。职业数学家每天都要用到这些策略，但是在教科书中和课堂上很少拿出来讨论。
本书的主题就是：讨论从模糊和定性到精确和定量的过程，或者说，如何自己发明数学。我所说的“发明”不仅仅是创造新的数学概念，还包括学习如何重新发明已经被其他人发明了的数学知识，从而获得对这些概念更深入的理解。这个过程以前从没有被明确讲授，然而它比任何数学课程都更为重要。
——转引自《我们需要怎样的数学教育？｜展卷》
（其中的“重新发明数学”的理念被我用来作为引导孩子学会自主思考的指导思想之一，详见：……导论……）
（我的践行“重新发明数学”理念的另一个成果：学做家长｜引导孩子们“重新发明”自然数及其加减乘除的运算规则（一）：发明作为概念的（自然）数-下｜小学数学最该学的数学理念怎么教）

从这一论述反推，可知当前的数学教材和实际教学活动中，“授人以鱼”是普遍现象，而“授人以渔”是异常罕见的。

美国学者约翰·卡斯蒂（J. L. Casti，著有《逻辑人生：哥德尔传》）曾有一段论述：

在数学中，要讲述真理是极其困难的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。数学理论的真理更象是当我们在听一些专家所做的漫不经心的随口评述时，我们去捕捉专家评述的动因后才会感触到的体味，当我们最终搞清楚典型的例子时，或是当我们发现了隐藏在表面化诸问题之后的实质问题时，我们才品尝到数学之真。哲学家和精神分析学要解释，为什么我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯，而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天几乎没有改变。
——转引自《从历史角度讲现代数学》
（其中的“系统地擦去走过的足迹”被我用来作为“祛魅‘演绎’”的理论论述之一，详见：祛魅《几何原本》｜《几何原本》的“演绎”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中国象棋+元素周期表）

这段论述说明，数学工作者习惯于隐藏或抹去自己得到解决问题的思路的历程（包括心理上的和思维上的），这种习惯自古就有且至今几乎没有改变。

其二，中国特色的中传统。

中国古代的数学著作《九章算术》经常被拿来与古希腊的数学著作《几何原本》相比（如：中国科学曾经落后这不丢人，关键我们要有自信能在未来领先 | 科技袁人），以说明：

以前者为代表的中国古代数学著作“只给出‘其然’而未给出‘其所以然’”，而以后者为代表的西方（古代）数学著作“既给出‘其然’又给出‘其所以然’”；

所以，学中国古代数学著作就陷入“知其然而不知其所以然”从而一代代每况愈下的尴尬境地，而学西方（古代）数学著作可以“既知其然又可知其所以然”从而可以通过一代代的累积而取得长足的进步。

虽然我对《几何原本》的所谓以公理通过演绎逻辑推导出一系列的命题的主流认知有所批判（详见：祛魅《几何原本》……），但确实，《几何原本》相对于《九章算术》给出了更多的思维过程中的细节（体现于其对命题的证明之中）。

也因此，我的这本小册子取法了《几何原本》的一个独特的风格，即尽可能详尽地呈现逻辑推导中的每一步而不做哪怕很小的逻辑步骤的跳跃，并且，更进一步，尽可能详尽地展现得到解题思路的思考过程——心理历程和思维历程。

其三，陈陈相因的小传统。

在西学东渐的大势下，中国近代以来一直是以学习西方的创造的既有知识为绝对主流，这种学习，核心就是“理解”和“应用”。所以，无论是教材还是教学中，总是直接传授知识以及对知识的理解然后将知识付诸应用；我们极少去探讨知识是怎么来的——也即我提出的“数学理念”概念的其中一项内容“‘（如何）创造/发明数学知识’的知识”。

反应到习题的讲解中，就是先给出解题思路然后再讲如何理解这个解题思路继而记住这种解题思路并将之应用到类似题型中去——此即所谓“解题套路/技巧”。

最早的老师就是这么教学生的，然后学生成为老师后也只会这么教学生，如此陈陈相因，这种教学方式就成了习惯，并且积习难改——这恐怕也是这些年的教学改革在实践上效果不佳的深层原因之一。

所以，当前的开设各种培优课程的名师和/或学霸的课程内容的核心也还是讲题目，讲解的方式也还是这种陈陈相因、积习难改的“传授解题思路和/或套路/技巧”。

第二，“现实”之困境使然。

中山大学数学学院娄文老师撰文讨论了导致当前数学教学模式陷入困境的原因：

……而数学则是思维分析能力和知识性内容并重，两者相辅相成。然而长期以来，数学的教学实践采取的却是适合知识性学习的模式。
现有的数学教学模式的困境，很多人其实都看得很明白……对于小学，我认为主要原因有二：
其一，缺乏动力。小学阶段因为学习内容相对（中学阶段）简单，知识点少，题目的变化也较少，“填鸭式教学+题海战术”的方式虽然存在各种弊病，但也能达到一些提分效果。在现有的教学条件下，这不失为一个“明智”的选择。更何况，这种方式的弊病更多地是在中学阶段才逐渐显现，给了小学足够充分的“掩耳盗铃”的时间，说服自己无需为这些弊病负责。
其二，师资条件不足。由于各种客观原因，导致教师队伍的整体能力和素质远不够理想，填鸭式教学尚且勉强，优化教学则困难重重。这个问题在数学科目上的表现尤为明显。
……
我们强调对数学思维的重视，是因为相对于数学思维在数学学习中的重要性，老师在教学中投入的时间少得太多，甚至想方设法避开数学思维的培养。
——转引自《数学越学越笨？先搞清什么是数学思维》

第三，“人性”之虚荣使然。

体制内的教学（校内教学）还可说老师受到限制而不能自由地创造性地发挥，那么体制外的各种以数学思维的培优为名目的培训课程为什么也是萧规曹随呢？

正如娄文老师在同一篇文章中所指出的：

最近几年，“数学思维”这个词的出现频率比以前明显高了不少，有很多课程也打着数学思维的旗号。然而在我看来，这些课程基本上都是挂羊头卖狗肉，甚至老师自己都不了解什么是数学思维。
——转引自《数学越学越笨？先搞清什么是数学思维》

我以为，更关键的原因在于在“诚意正心”方面的不足甚至是缺失。

“诚意”，被王阳明（中国历史上的公认的唯一一个做到“三不朽”——立德、立功、立言——的圣人）视为《大学》之关键。

意不诚则心不正，心不正则行事必然会走偏。

其一，培优课程的潜在目标是让学生对其有依赖性——不然怎么兜售其高额的课程呢，所以是不愿意干教会徒弟饿死师傅的“不智之举”的。

其二，授课的老师潜意识里总是想要将自己表现得非常厉害——不然怎么镇得住学生呢，所以总是不自觉得“炫耀式”地直接给出解题思路以及展示解题技巧，而回避将探索解题思路的思考过程中的狼狈、误入歧途等“不太美好”的一面给呈现出来，担心如此一来，家长和孩子就会认为授课老师的水平太低，从而不选择——购买——自己的课程。

上述两个弊病其实都是因为没有“诚意正心”，没有以孩子的真实需求为目标，而是以自己的“生意”为目标。

以我亲历的教学实践【详见：……前言……】为例：

我辅导的一个六年级的孩子，我们以“数学思维”的教-学为主旨；

我在教学中，重点放在探索解题思路的过程上，而且不仅不耻于甚至有意识地大方而自然地呈现对解题思路的无知以及思考过程中的艰辛、窘迫和误入歧途；

只用了三节课（合计约6个小时），孩子就对“数学思维”有所领会，并初步摸到了“独立探索、自主思考”的门道，从辅导前的一见难题就望而却步、茫然无措跃升为敢于攻坚、善于思考，这就意味着，已经不需要教ta具体的解题思路了，因为ta自己已经学会了通过自主思考去探索出解题思路了。

三

学校教育以知识传授为主的模式积习难改，校外培训以思维提升为名的课程挂羊头卖狗肉。那么，作为家长，我们怎么办？

前文提到的中山大学数学学院娄文老师的观点颇具冲击力，但我认为非常有道理：

当教育体制中存在的问题成为千夫所指时，也成为很多家长的“护身符”。他们以批判体制的方式，来掩饰自己的不作为。然而这只不过是现代版的“掩耳盗铃”——孩子在成长过程中出现的问题，最终还是由家长来承担。
……
身为家长，面对孩子的学习问题，如果总是把责任推给社会，推给学校，推给老师，而不对自己作深刻的反省，问题不可能得到解决，最终的苦果还得自己吞。……孩子的学习模式必须从小打下良好的基础，这个责任，应该而且只能由家长担负起来。
——转引自《娄文 | 教育版掩耳盗铃：以批判体制来掩饰家长的不作为》

如何负起这个责任呢？

加强学习，“学做家长”，努力提升自己的鉴赏力，以给孩子更好的引导。

四

请珍视这本难得一见的以授人以渔为旨归的典范之作。

《结语》完。

小学数学“教-学”探索 · 习题篇

习题的思考与作答

前言：

《小学数学“教-学”探索·习题篇：习题的思考与作答丨前言：入门须正，境界要高。刷题与创新能力培养可兼容，但要刷得高明、刷出水平》

导论：

《小学数学“教-学”探索·习题篇：习题的思考与作答丨导论：妙用习题引导孩子学会自主思考，善用“‘读’做”法让刷题更高明、高效、轻松》

思答示范（自主思考的七种法式）：