1.近日阅读陈方正著《继承与叛逆》，顿时产生醍醐灌顶、茅塞顿开之感。这本书非常令人信服地回答了题目中的两个问题，而对于初步了解高等数学、物理学、天文学的人，这本书也是非常引人入胜的故事书，让人在接受知识的同时获得美妙的精神享受。以下简述其内容，以与书友分享。

2.这本书主要记述了西方数理科学即数学、天文学、物理学等可以量化的科学的发展历程。这是因为：现代科学的出现毫无疑问是通过数理科学，即开普勒、伽利略、牛顿等的工作获得突破，而且此后300年的发展显示，现代科学其他部分也莫不以数学和物理学为终极基础。

3.西方科学有所谓“大传统”与“小传统”之分，前者指的是数学、天文学、物理学等大学本科必修课程；后者则指炼金术、魔法等，它们被排斥于大学课程以外，只是由学者在私下，甚至隐秘地修习、研究。近代西方大学一般都要设立文学院来教授基础性的“三艺”（文法、修辞、逻辑）和属于科学范畴的“四艺”（算术、几何、天文、音乐）。

4.闲言少叙，书归正传。西方科学的最早源头其实要追溯到古埃及。顺便说一句，四大古代文明指的是古埃及、古巴比伦、古印度和华夏（也就是中国）。中国之所以没有加“古”字，是因为其他三个文明都灭绝了，而我们的文明根本没有中断，古今无法区分。正宗西方的源头是古希腊，但是它并不属于古代四大文明。

5.和中国相比，埃及非常幸运的是，从最早期开始，就留下了大量文字记载。在干燥的沙漠空气中，特别是在牢固、密封的墓室里面，它们被完整地保存下来。这些文字中，就有用草纸或者羊皮记录的“数学手卷”。最有价值的是苏格兰律师林德掘墓得到的“林德数学手卷”，其内容写成于公元前1800年。

6.其主要内容有：1.单分数，即分子为1的分数。如2/11=1/6+1/66;2/71=1/40+1/568+1/710。2复比例问题。3.长方形、三角形和梯形面积，圆柱体、方柱体体积，斜率。4.圆周率的有效值达到3.16。5.计算截锥体，即金字塔截去尖端而成为平顶立体的体积公式。6.计算“开口篮子”（即半球）的表面积公式：A=2r.r.圆周率。

7.两河流域文明发明了楔形文字，这些文字被写在陶泥板上，经过晒干或烧烤之后非常坚固耐久，成为几乎永久的记录。现在世界各大博物馆中收藏有几十万块陶泥板。这些确切的记录使得两河流域在相当于中国三皇五帝时期就已经进入信史时代。而绝大部分数学陶泥板都是属于公元前1800--1600年这两百年期间。令人惊讶的是，埃及数学手卷恰好也属于这一时期。

8.如果说古埃及的数学水平已经令人震惊的话，那么3500年前巴比伦数学的精妙、丰富与高水平更会让你惊掉下巴。他们使用60进制计数法，最杰出的成就是解方程式，包括大量线性方程和一般二次方程的通解。因为当时还没有未知数的概念，所以方程问题都是用长方形、面积、边长这些几何词汇来建构，解方程则用面积剪贴、长度加减来表达。

9.求平方根则用近似公式、反复代入法。还有解不齐三次方程的成功尝试，以及幂数表。他们十分热衷于各种几何图形分割，技巧亦十分纯熟、巧妙。他们显然知道并经常运用毕达哥拉斯定理，甚至可能已经证明了它。远古数学给我们的启示是：数学虽然起源于实用，但它的进一步发展也就是“突破”却有赖于“超实用”的兴趣与动机，也就是纯粹为了好奇或者炫耀而做的探究，以及容许甚至鼓励这种探究的环境。

10.有专家认为，数学的突破出现于旧巴比伦王朝，很可能是因为它大规模发展了气氛宽松、带有人文气息和自主性的文士学堂。这些学堂提供了具有普遍意义的教育，即所谓博雅教育，而不仅仅是狭隘的技术、职业训练。数学欲发展到相当复杂的程度，似乎必须依靠一个有闲暇也有高度专业兴趣和自豪感的阶层之形成。而这种体制和阶层之消失，也可能就是数学突然中衰的原因。

11.古希腊人认为，他们的文化包括数学、哲学承受于埃及、巴比伦、波斯这些远古文明。他们最早的哲人泰勒斯和毕达哥拉斯相传都到过埃及和巴比伦，并且曾经长时期在那里的神庙跟随祭司学习。柏拉图在《对话录》中也一再借埃及祭司的口吻，提到他们悠久的传统和深不可测的累积智慧，在其面前希腊哲人只不过像是孩童。

12.希腊信史大致从首届奥林匹克竞技会（公元前776年）开始。毫无疑问，希腊文化上第一件大事是荷马史诗的出现，其确切年代希罗多德认为是在公元前850年左右。希腊科学是从自然哲学开始的。早期科学家就是自然哲学家。希腊哲学从头就与科学相近：它致力于探究自然奥秘而忽略人事，喜好抽象理论而忽视实用技术，反映的是所谓“重智”精神。这与中国讲究人伦、实用的“重德”精神，分别代表两种完全不同的文化倾向。

13.希腊哲学以柏拉图为宗师，他极端重视数学，认为它是完美与恒久理念的代表，也是培育“哲王”的理想教材；中国圣人孔子看重的则是“克己复礼”和忠恕之道，而绝少谈论自然事物。两大文明的基本分野至此也就昭然若揭了。这种差别的原因，应该与中国的终极目标是维系农业社会的和谐稳定，而希腊由彼此独立的小城邦构成，没有强大政治传统有关。

14.公元前6---5世纪是雅斯贝尔斯所谓的“轴心时代”。古代主要文明的核心思想文化都形成于此时：在印度，这是佛陀时代；在波斯，这是琐罗亚斯德时代；在中国，这是孔子、墨子和孙子时代；在希腊，这是泰勒斯、毕达哥拉斯等自然哲学家的时代。不过，孔子代表正统思想的振兴，而希腊的自然哲学却是个“周边现象”，它是以边缘影响中心，然后逐步渗透中心，成为主流的。

15.具体而言，希腊哲学的米利都学派、爱利亚学派和原子论学派都出现于希腊周边，并且与其时的希腊主流文化相异：它们的基本关怀在于无关实际的宇宙和大自然问题，因此称为“自然哲学”，而并非主宰希腊人心灵的奥林匹克诸神，或者迫在眉睫的政治、军事问题。不仅如此，其思维模式也几乎全然以思辨为主，也就是推理的、抽象的，绝少涉及政治和社会的实际考虑。

16.希腊自然哲学起源于公元前6世纪的爱奥尼亚，其始祖是泰勒斯，他建立了米利都学派。在此学派之外，爱奥尼亚还有3位重要哲人：色诺芬、毕达哥拉斯和赫拉克利特。他们声气相通，相互激发，他们就是希腊哲学与科学的开创者。此外，希腊早期好些重要科学家，例如数学家希波克拉底和尤多索斯，还有希腊医学始祖希波克拉底，也都是爱奥尼亚人。因此，爱奥尼亚是名副其实的希腊哲学的摇篮。

17.泰勒斯是希腊哲学的开山祖师。他和雅典宪政之父梭伦一样，被公认为古希腊“七贤”之一，而泰勒斯居于首席。这显示他不仅仅以学问、见识和思想知名，也还有实际才能和城邦领导地位。无论如何，希腊哲学传统是由他触发，并且在相当程度上是由于他的魅力、典范而走上“重智”道路。泰勒斯首先以数学和天文学知名。

18.他被认为是把几何学从埃及传入希腊的第一人。据说他首先发现以下几何学定理：1.圆为其直径所等分；2.对顶角相等；3.三角形为其任何一边及其旁两角所决定；4.半圆中对应于直径的内接角是直角。泰勒斯又是希腊第一位天文学家。曾经测定冬至与夏至点，又曾经准确预言在公元前585年会发生日食。

19.其后不久，他就被推尊为贤人，而日食之年，以后也被视为希腊哲学的起点。其实在当时，准确预测日食超出了科学计算能力。泰勒斯的预言大概是基于巴比伦的“沙罗斯”周期，即日月食大约每18年又10日重现的粗略经验规律，以及埃及在公元前603年曾经发生日食的事实，而并非来自对日月食成因的认识。

20.其次，泰勒斯更重要的贡献，是提出宇宙“原理”，即其基本质料和运行原则为何的问题，这就把希腊人从神话中解放出来，改变了他们观察世界的角度和方向。他提出原理就是水，即把水看成万物的来源和本原。以某种自然界事物来解释自然万象，这是从原始宗教转向理性思维的关键，也就是希腊哲学与科学的开端。这些观念主要源于埃及、巴比伦。

21.不过，首先提出一套具体宇宙学说，从而创立米利都学派的，是继承泰勒斯的阿那克西曼德。他认为大地自然地悬浮于空中，没有任何支撑也不会移动。他对于天体、天象都提出了具体构想，很多看法接近于现代科学观念。他把泰勒斯的“原理”称为“原质”，认为现存事物的原质是“无穷”。学派的第三代传人是阿那克西米尼，他把“无穷”原质确定为“气”，成为日后地、火、水、气四元素说的雏形。

22.泰勒斯的崇高声望，激发了才智之士另树旗帜，以求驰誉当世的雄心。色诺芬认为宇宙没有生灭，就不需要有“原质”；一切都从大地而生，最后回归大地；大海是风、云、雨、水以及河流的源头。赫拉克利特最重要的发明是辩证思维模式，提出“人不能两次踏足于同一条河流”，所有事物都包括对立成分，而价值判断是相对的，因此可以统一。23.爱奥尼亚哲学家之外，还有属于大希腊的意大利爱利亚学派。巴门尼德划时代的贡献是区分了确定不移的“真理”和因时因人而异的“意见”，前者只有通过严格逻辑推理的方法才能达到。他坚持现实世界是变动和虚幻的，而真实世界是恒久不变的，它只能凭我们的心智（即后来的‘理性“）来认识。这样，西方传统中最基本的二元论，即感觉和心智之间、实体世界和抽象世界之间，还有变化和恒久之间的截然对立，就都出现了。

24.巴门尼德的爱徒芝诺的诘难法被亚里士多德称之为”辩证法“，最有名的论题是阿喀琉斯追不上乌龟、飞矢不动，以证明运动不可能。此外，恩培多克勒划时代的贡献是发现了日食和日夜成因。雅典第一位哲学家是阿纳克萨格拉，他对于月光和月食成因做出了正确解释，在宇宙学上继恩培多克勒之后提出了彻底的多元论，即宇宙间有无数不同的元素，还把非物质性的”心智“作为宇宙一切事物的主宰。这样西方哲学的心物二元论正式出现。

25.公元前5世纪下半叶，酝酿超过一个世纪的自然哲学终于成熟，达到第一个高峰---原子论。原子论的始祖其实是德谟克利特的老师留基伯，他们师徒最重要的贡献是提出了”大虚空“（真空、空间）和”原子“这两个观念。原子是不可分割的，有无数不同大小、形状的原子，但其构成”质料“都一样。万物有生灭，但原子永存不灭。这样的天才观念令人惊叹。

26.公元前530年，毕达哥拉斯神秘教派诞生。它结合永生追求与宇宙奥秘探索的教义，日后成为柏拉图哲学及其学园背后的精神力量。在此强大力量鼓励下，以严格证明为特征的希腊数学诞生，它最后成为整个古希腊科学传统的源头。毕达哥拉斯的人格、事迹、信念，更成为西方智慧的象征和泉源，其影响历代相传不衰，一直延续到开普勒和牛顿。

27.毕达哥拉斯幼时有东方经历，曾经在埃及、巴比伦学习，然后建立了自己的教派。其教派有严格制度和纪律，对外严格保密。其教义的核心观念是：人的灵魂是生命的主宰，是永存的。通过冥想、数学与哲学探究可以恢复纯洁的灵魂，人死后灵魂根据修炼的深浅而投身于不同等级的生物，即所谓“转世”。人的个别灵魂是宇宙大灵魂的”流溢“。

28.毕氏教派的特点是宗教与科学并重，二者融为一体。这可能是它对信众和学者都具有强大魅力的秘密。按照教义，人的灵魂本来就是宇宙整体的一部分，要使受世俗躯体污染的灵魂得以分享宇宙的条理、秩序，从而得以自由自在，长存不灭，首先就要充分明白宇宙本身的原理、结构和奥秘。柏拉图说：”爱知者亲近神圣秩序“。因此，宇宙奥秘的探索便成为洁净身心、修炼灵魂的法门。

29.毕派认为数目是万物的基础---一切可知事物都有数目。数先生出几何形体，后者才转而化为天体和地上万物。偶数代表混沌和邪恶，奇数代表秩序和善良。4代表公义，5代表婚姻，10是”伟大、完整、无所不能“的数目，因为它由1、2、3、4构成，而这四者是构成几何形体以及音阶比例的基础。将数目观念应用到可见形体而有几何学，到可闻者而有音乐理论，到天体运动而有天文学。

30.毕派认为，1相当于没有大小的点，2相当于直线---两点决定直线，3相当于平面---三点决定平面，4相当于四面体或空间。四面体、立方体、八面体、12面体、20面体分别对应于火、土、气、天球的整体、水。天文学即自然哲学传统中的宇宙论，毕派认为宇宙中心有个”中央火球“，恒星在最外层环绕运行，其内是五大行星，然后依次是日、月、地球，以及最接近火球的”反地球“。

31.毕达哥拉斯所建立的，是一个组织严密，思想深刻，具有整套人生观、灵魂观、宇宙观的庞大教派。它不但在当时声势浩大，而且在毕氏去世后，通过杰出的后代传人深刻影响柏拉图及其学园，并且在此前后触发了一场决定性的数学革命，由是开创了古希腊乃至整个西方文明的数理科学大传统。这个大传统在17 世纪经过再一次观念上的大革命而蜕变为现代科学。

32.但是，诸如几何学与天文学这些困难、高度抽象而又没有明显实际应用价值的智力探索，何以能够捕获柏拉图和他的弟子的心灵，并且在学园中成为学术主流呢？事实上，在柏拉图时代，有许多不同思潮风起云涌于雅典。其中最有势力的，是以言辞论辩技巧为尚的所谓“智者运动”；至于思想最锋锐、最能吸引年轻人的，则是柏拉图最初的老师苏格拉底，他所关心的是道德和政治。

33.智者和苏格拉底对于抽象的数理天文都毫无兴趣，认为是虚耗精力的不急之务。甚至柏拉图才华超众的大弟子亚里士多德也不好数学---他的哲学偏向于“目的论”，而他雄心勃勃的科学研究则以博物学为主。因此，学园的强大数理传统绝非顺理成章，而是在背离雅典思想风尚，亦即在“逆流而上”的情况下建立起来的。毕派学者何以能够经历一两个世纪之久而仍然不随流俗，维持轻忽现实而究心天外的传统，实在很不寻常，需要探究和解释。

34.在我们看来，解释就在于毕派所首先发现，而柏拉图所发扬光大的宗教与科学之结合，亦即永生追求与宇宙奥秘探索的相通。这一结合为原始的希腊宗教缔造了一个崭新的，比前远为高超奥妙的境界，同时也为数理天文的探究送上了绝大动力。柏拉图《对话录》中的《蒂迈欧篇》是一部科学百科全书，其中有一段画龙点睛的话：“倘若他对于知识与智慧的热爱是认真的，并且运用心智过于身体其余部分，那么自然就会有神圣和永恒的思想；倘若他获得真理，就必然会得到人性所能够赋予的最充分的永生。。。。。他就将得到无上幸福。”

35.毕氏教派即将覆灭之时，有一些人逃了出来，其中有费罗莱斯。柏拉图就是从费罗莱斯和他的弟子阿基塔斯那儿获得了毕氏学说、思想的。家世显赫的柏拉图，本来有意在政治上建功立业，但是老师苏格拉底之死改变了他的命运，令他改变初衷，决定以思辨、学术、探索和追求理念的永恒国度为终身职志。这是希腊文明的大转折----即其思辨、爱智精神从周边进入核心，然后逐渐成为思想主流的转折。柏拉图正是处于这个时期当中的枢纽人物。

36.柏拉图对西方学术思想的深远影响是通过《对话录》和学园两者产生的，这两者有一个共同点---对数学的极端重视。这里所谓数学，是泛指算术、几何、天文、乐理等“四艺”，也就是以数学为核心的数理科学。此外，《对话录》还充满了对灵魂、前世、永生、天神等的讨论。因此，柏拉图所建立的西方学术传统，是以科学与宗教两者为核心，很显然，这个大方向是从毕达哥拉斯教派那里承接过来的。

37.柏拉图学园并非以传授知识为主的学院，而更接近于一群地位平等的独立学者的非正式聚会，其目的在于共同研讨、论难，但也不排除对年轻学者的教导。柏拉图树立了辨析论难的学风，并且影响研讨的主要方向。学园的研讨以数学为主，有门楣上的警句为证：“不习几何学者不得入此门。”毕氏学派与柏拉图学园的结合，导致了西方第一次科学革命，那可以很恰当地借用柏拉图对毕达哥拉斯的美誉，称之为“新普罗米修斯革命”。这次革命，可以以它的成果---欧几里得的《几何原本》来代表。

38.革命往往是由严重冲突所产生的危机引起，政治革命如是，科学革命也不例外。新普罗米修斯革命起源于算术与几何两方面的危机与挑战，亦即无理数与几何三大难题的出现。我们知道，“万物皆数”是毕氏学派的最基本信念，而这“数目”只能是正整数，即所谓“自然数”；而分数的分子、分母也都必须是自然数。但是有一天，毕氏的学生发现：如果直角三角形的两条直角边都为1，那么它的斜边的长度就不能表示为任何自然数之比，也就是说，它是一个无理数。

39.无理数的发现，对于毕氏教派是一个极大的震撼，因为这将使他们的基本信念面临崩溃的危险！因此，这一发现被视为教派绝大的秘密，向外界泄露者等同叛徒而要被处死。然而，这一发现也激起了彻底了解无理数的好奇和决心，从而触发了西方第一次科学革命。首先做出贡献的是柏拉图的老师特奥多鲁斯，他证明了3---17之间的非平方数（即其方根并非整数者）的平方根都是无理数。他的学生泰阿泰德则证明了所有非平方数的平方根都是无理数，并且对无理数做了详细分类。

40.几何三大难题的挑战和无理数危机大致同时出现，都在公元前5世纪中叶。这三大难题是：“圆方等积”问题，即求与圆有相同面积的正方形的边长，也就是求所给圆的面积；“倍立方”问题，即求将所给立方体的体积加倍时，其新的边长为何；“三分角”问题，即将所给角度三等分。这三个不可能用初等方法（即只用直尺和圆规）解决的难题，在一个多世纪时间里，引起了几乎所有重要自然哲学家、数学家的浓厚兴趣，但涉及的主要是希腊本土学者。（待续）