第一张对数表是怎样制作出来的

撰文 | 陈纪修(复旦大学数学科学学院教授)

在400多年前,人类还没有发明计算机,还只能做加、减、乘、除等简单运算。但是随着科学技术的发展,特别是随着天文学和力学的迅速发展,科学家要面对许多复杂的计算,这就促使他们去寻找简化复杂计算的方法。对数运算与对数表就是在这样的背景下产生的。

人们应该把造出第一张对数表归功于乔伯斯特-别尔基 (Jobst Burgi,1552-1632) 和约翰-纳皮尔(John Napier,1550-1617)。他们在制作对数表的过程中所花费的巨大的劳动使人惊讶。法国数学家和天文学家拉普拉斯(Laplace,1749-1827)说:一个人的寿命如果不拿他在世上的时间长短来计算,而是拿他一生中的工作多少来衡量,那么可以说,对数的发明等于延长了人类的寿命。

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恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为十七世纪三个“最重要的数学方法”,而对数的计算又离不开对数表,由此可知对数表的制作成功对科学发展的重要意义。

乔伯斯特-别尔基出生于瑞士,是一个能干的钟表匠和天文仪器技师,他没有受过高等教育,他取得的成就完全是靠他突出的才能与勤奋的工作。他和发现行星运行三大定律的德国著名科学家开普勒(Kepler,1571-1630)一起工作,因为需要进行大量的计算,这就促使他去寻找快速计算的方法。

约翰-纳皮尔是苏格兰人,他也不是职业数学家,但是他受过良好的教育,是一个天文学和数学的爱好者。他完全独立地和别尔基同时开展着类似的研究。他用了20年的时间来制作第一张对数表,在这过程中,他始终怀着一个崇高的目标:减轻未来计算人员的劳动。

下面我们来看看他们是怎样制作对数表的。

由于对数运算有换底公式

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所以只要选择一个适当的底,关于这个底制作出对数表,则关于其他底的对数表就很容易制作出来了。那么以什么数作为底最合适呢?

首先,对数表需要满足一个基本条件:表中对数的间隔要充分小,而真数的间隔也要充分小(例如为0.0001)。这样当我们从真数求对数时,很容易在表中找到这个真数的精确值或近似值,从而很快在同一行读出它的对数值;而当我们从对数求真数时,也很容易在表中找到这个对数的精确值或近似值,从而很快在同一行读出它的真数值。

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因为我们使用的是10进制,所以先试一下以10作为底是否合适。

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这个表的左边对数部分的间隔很小,是0.0001,但右边真数部分的计算非常困难,需要对10,100,1000,10000等数求10000次根,这简直是无法计算的。

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为了避免求上述的开10000次根的运算,我们应该取某个数的10000次幂为底,那么我们

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现在这个表右边真数部分的计算不困难了,但这个表不符合我们的要求,虽然对数的间隔比较小(0.0001),但是真数的间隔太大,而且增加太快。

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底缩小后,真数这一列间隔也缩小了,但是仍然太大,而且增加也很快。

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从以上几张表我们可以发现,我们取的底应该是一个指数形式,指数是一个比较大的数,如10000,而底越接近1,真数这一列的间隔就越小。

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我们发现这张表已经满足我们前面提出的要求了:真数和对数都按照单调增加的序列排列,而且间隔都非常小。

从以上讨论可以得出这样的结论:为了造第一张对数表时便于计算,必须取形如(1+1/n)^n的数为底,其中n为一个较大的整数,如n=1000,10000等,n越大,所造的表越精确。

别尔基造的对数表就是用数1.0001^10000做底的,这张表在1620年出版,称为“算术级数和几何级数表”。别尔基从1603年到1611年共用了八年的时间来造表,为什么要用这么多时间呢?你们可以想一下,表中对数的间隔是0.0001,从0到1就要计算10000个真数的值。制作整个对数表,别尔基总共做了230,000,000个以上的数依次乘以1.0001的乘法计算。

别尔基造的对数表没有得到广泛的推广,因为在1620年,纳皮尔出版了比别尔基造的表完善得多的对数表,称为“珍奇对数表”。纳皮尔的对数表是以1.0000001^1000000做底的,因此更加精确。为了制作这张表,纳皮尔用了20年的时间。

随着牛顿(Newton,1643-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)创立了微积分,柯西(Cauchy,1789-1857)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897)等人奠定了微积分的基础,建立了严格的极限理论,人们发现当n无限增加时,数列(1+1/n)^n极限存在,这个极限是一个无理数,等于2.71828182845……,数学家把这个数用字母e来表示,是为了纪念伟大的瑞士数学家欧拉(Euler,1707-1783)。但为了纪念纳皮尔,这个数也叫作“纳皮尔数”。

因此,现在用的对数有两种,一种叫自然对数,它以数e为底,另一种叫常用对数,它以10为底。

本文转载自微信公众号“和乐数学”。

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