聊聊张景中院士的第三代微积分

首发于公众号“贼叉”

最近第三代微积分的概念似乎火了起来，我大概十多年前就听过这个名词，只不过一直没有空去读——因为微积分发展到现在已经是相当完备了，不管你第几代微积分，都不可能从本质上去推翻牛顿和莱布尼兹发明的那套东西，能做的无非就是通过一些等价定义重新进行描述，而结论却不会有任何的改变——y=kx+b的导数就是k，第n代也只能是k。

所以借着这股潮流我就找来了张院士关于第三代微积分的书仔细读了一下，现在把读书心得和大家做一个分享。

读完了整本书后，发现果然我的猜测是正确的，张院士用不等式的语言重新定义了一遍导数。

事实上，原来关于极限和导数的定义都是用epsilon-delta语言。当然，如果你学的是工科的高等数学的话，几乎不会做相关的训练的。这可苦了我们这些将来可能靠数学吃饭的家伙。因为epsilon-delta语言的核心在于对“epsilon就是想要多小就有多小”的理解上，这个对于初学者来说是极度不友好的。

所以第三代微积分的核心就是在于如何利用一套完全初等数学的东西来代替epsilon-delta语言，并且可以把后面的理论完全用这一套理论描述出来。

从这个角度上来说，张院士成功了：他利用一组不等式结合类似于夹逼定理的思想把导数给定义出来了。他给出了一对甲乙函数，然后有以下不等式：

f(p)≤[F(v)-F(u)]/(v-u)≤f(q)，这里F(x)就是甲函数，f(x)就是乙函数，如果f(x)是连续的，那么f(x)就是F(x)的导数。这个定义方式确实很初等，然而这也是唯一的亮点。

要知道不等式这块内容对中学生来说是相当不友好的，其不友好的程度可能不在epsilon-delta语言之下。事实上，如果用甲乙函数的定义去求函数的导数需要很强的代数技巧，难度似乎并没有降低多少。

而且利用这套理论，你得先定义导数，再定义连续，这点我觉得是值得商榷的。毕竟函数的导数存在是比函数连续的性质要强很多，所以从逻辑上来看，似乎是应该先讲连续再引出导数更为合适。

还有一些不自然的地方，比如在讲y=1/x和x轴围成的面积时，直接就说从1到x内的面积就是lnx，这个实在有点耍赖的感觉了。

从整体上来说，张院士的第三代微积分确实把原来的教法改写了一遍，同时也满足了初等方法，应该说原来的目的都达到了。但是从效果上来说，可能会让学生学得更迷糊。

当然，不管怎么说，张院士的第三代微积分也是对微积分教学的一次有益的尝试，目的就是为了让更多的人从初等数学到高等数学的衔接更顺畅一些。学术上的讨论乃至合理的批评我觉得都没什么问题，然而有些宵小上来就污言秽语，把这套理论骂到一文不值，也实在是为了博眼球而吃相难看。