解方程有什么难的?

原创:中科院物理所

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最简单的多项式方程的解——被称为“单位根”,它们有一个优雅的结构,数学家们现在仍然用它来研究一些数学上最伟大的开放性问题。

如果你上过代数或物理课,你就会遇到抛物线,这是一条可以模拟小球在空中抛物轨迹的简单曲线。抛物线最重要的是它的顶点即最高点或最低点,我们可以用很多数学方法可以找到它。你可以尝试顶点式,或者对称轴,甚至微积分。

但上周,我的一个学生用一种特别简明的方式找到了抛物线的顶点。她说:“因为根是关于顶点对称的,分别是 x = 1 和 x = 7 ,所以顶点在 x = 4 。”她这样做是因为抛物线是二次多项式的图形,而这个多项式的根(使多项式等于 0 的值)具有某种她可以利用的结构。

每个多项式的根都有一个结构,数学家们研究这些结构并寻找机会利用它们,就像我的学生研究抛物线一样。说到多项式的根,没有比“单位根”更有结构性的了。

单位根就是 xn – 1 形式的多项式的根。例如,当 n = 2 时,我们得到二次多项式 x2 – 1 。要找到它的根,只需让它等于 0 ,然后求解方程:

x2 – 1 = 0

也许你还记得因式分解公式:a2 – b2 = ( a – b )( a + b ) 。这里分解为:

x2 – 12 = ( x – 1 )( x + 1 ) 

从而可以得到

( x – 1 )( x + 1 ) = 0 

现在你得到了一个等于 0 的乘积,你可以调用代数中最不受重视的规则之一——“零乘积性”:两个实数相乘为 0 的唯一方法是其中一个为 0 。如果 ( x - 1 )( x + 1 ) = 0 ,那么可以得到 x − 1 = 0 或者 x + 1 = 0 。当 x = 1 时,第一个方程成立,当 x = −1 时,第二个方程成立。所以, 1 和 −1 是上述方程的两个单位根,这两个根和 1 的两个平方根是一样的。

对于任意 n ,你都能找到 n 个单位根,也就是方程 xn – 1 = 0 的解。这些单位根有一个非常丰富的结构,它与高中数学中的三角学和平面旋转,以及一些现代数学中伟大的未解问题的研究相关。

当 n = 2 时,两个根 1 和 −1 有一个对称结构,这与我的学生如何找到它的顶点有关。你可以在方程 x4 = 1 的解中看到更多的结构。因为 14 = 1 和 ( −1 )4 = 1, x = 1 和 x = −1 都满足这个方程,所以它们是四次单位根。但实际上还有两个根,你可以像我们上面做的那样用代数方法找到它们:

x4 = 1x4 – 1 = 0

因为 x4 和 1 都是完全平方式,你也可以在这里使用平方差公式:

x4 – 1 = ( x)2 – 12 = ( x2 – 1 )( x2 + 1 )

这就把方程 x4 – 1 = 0 变成:

( x2 – 1 )( x2 + 1 ) = 0

x2 – 1看起来应该很熟悉:我们在求解二次单位根时把它分解了。从而可以得到:

( x – 1 )( x + 1 )( x2 + 1 ) = 0

我们现在不能继续分解了。表达式 x2 + 1 是实数域不可约的,这意味着它不能被分解成只涉及实数的更低次的多项式乘积。但是我们仍然可以应用零乘积性质。如果这三个数相乘等于 0 ,那么其中一个一定是 0 。也就是 x - 1 = 0 ,x + 1 = 0 ,或者 x2 + 1 = 0 。

前两个方程告诉我们:x = 1 和 x = −1 是方程 x4 = 1 的解,也就是四次单位根。那么该怎么处理 x2 + 1 = 0 呢?

如果你知道复数,那么你就知道虚数单位 i 。i 满足这个方程,因为它的定义式为 i2 = −1 。i 不是实数,因为没有实数的平方是负的,但事实证明大多数单位根都是复数。由于 x = i 满足 x2 + 1 = 0 ,所以它肯定是一个四次单位根。你可以很容易地用一些指数规则来验证这一点:既然 i2 = −1 ,那么 i4 = ( i)2 = ( −1 )2 = 1 。由于复数遵循实数的大多数规律,所以 ( −i )2 = i2 是成立的, 从而可以看出 x = −i 也满足 x2 + 1 = 0,即 x = −i 也是四次单位根。

这四个数 1 ,  −1 ,  i 和 −i ,都是四次单位根,而且这四个根并不是偶然的。代数基本定理告诉我们,每个 n 次多项式都有 n 个复数根。所以方程 xn = 1 有 n 个复数解,这些都是 n 次单位根。(因为实数也是复数,所以如 1 和 −1 这样的实数解也都包含在复数解中。)

对于给定的 n , n 次单位根具有一些显著的性质。从几何上来看,如果你画出复数平面上的 n 个单位根,你会发现它们围绕以原点为中心的单位圆等距分布

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复平面上的 n 个单位根的图

这种几何结构与三角学中的重要思想密切相关,比如正弦和余弦的角和差公式、平面旋转理论,以及自然对数函数的底 e 。这个几何也与一个有趣的代数性质有关:对于任意 n , n 个单位根的和是 0 

对于 n = 2 ,这很明显:两个二次单位根的和是1 + ( −1 ) =  0 。我们也清楚地看到了四个四次单位根之和为 0 :

1 + i + ( −1 ) + ( −i ) = 0

在这两种情况下,很容易看出为什么总和是 0 :单位根成对出现,当你把它们加起来时,它们就消掉了。

然而,即使根不是成对出现的,这个结果仍然成立。例如,三个三次单位根是 1 、−1/2 + √3 i /2 和 −1/2 − √3 i /2 。两个非实数根没有消掉,它们的和是 −1 ,然后和剩下的实数单位根抵消,最后得到 0 :

1 + ( −1/2 + √3 i /2 ) + ( −1/2 − √3 i /2 ) = 0

你可以用几何方法来证明这个性质,不过还有一个简明的代数证明表明这个性质是正确的。我们把三个三次单位根称为1, α 和 β 。这三个数都满足三次方程:

x3 – 1 = 0

因为你知道这个三次方程的根,所以左边的多项式可以写成:

( x − 1 )( x − α )( x − β ) = 0

如果你用分配律把这个式子乘几次,你会得到下面的结果:

x3 − ( 1 + α + β ) x2 + ( α + β + αβ ) x − αβ= 0

由于我们已经知道多项式乘积应该对应于怎样的三次多项式:x3 – 1 。所以 x3 – ( 1 + α + β ) x2 + ( α + β + αβ ) x – αβ 等于 x3 – 1 ,这意味着左边 x2 项系数 1 + α + β,等于右边 x项系数,即 0 。因此 1 + α + β = 0 ,所以三个三次根之和为 0 。

这个论证推广并产生了著名的结果——“韦达定理”,它给出了多项式的根与系数的关系。韦达定理中的一条是指,在一个以 xn 开头的多项式中,多项式根的和等于 xn – 1 的系数的负数。类推到 x– 1 形式,其以 xn 开头, x– 1 的系数为 0 ,所以多项式的根之和为 0 。

当涉及到单位根时,还有一个更值得注意的代数结果。对于给定的 n ,如果 α 和 β 是 n 次单位根,那么 α × β 也是 n 次单位根!如果 α 和 β 都是 n 次单位根,这时可以得到 αn = 1 , βn = 1。那么 (α × β)n 会怎样呢?

一般来说,取复数的幂时需要格外小心,但因为假设 n 次单位根的 n 总是一个整数,指数的基本规则仍然适用,比如这个:

(α × β)n = αn × βn 

所以 (α × β)n = αn × β= 1 × 1 = 1 。这意味着 α × β 满足方程 xn = 1 ,所以是 n 次单位根。例如,当 n = 4 时,如果你把两个单位根 i 和 −1 相乘,你会得到另一个四次单位根:i × (−1) = −i 。当 n = 3 时,你还可以验证两个非实数根与实数根的乘积:

( −1/2 + √3 i /2 ) × ( −1/2 − √3 i /2 )  = 1

这个性质在n次单位根上产生了一个极其丰富的代数结构:一个“群”结构。

是由一组元素(比如这里的n次单位根)和一个运算(比如这里的乘法)组成,并满足一些熟悉的性质的代数结构。群的一个属性是封闭性,正如我们刚刚演示过的,封闭性意味着两个 n 次单位根的乘积总是另一个 n 次单位根。群的另一个重要性质是逆元存在性。这意味着对于任意一个 n 次单位根而言,总存在另一个 n 次单位根使得这两根的乘积是 1 。例如,当 n = 4 时, i 的倒数是 −i ,因为 i × ( −i ) = −( i) = −( −1 ) = 1 ,在三阶单位根中, −1/2 + √3 i /2 的倒数恰好是 −1/2 − √3 i /2 。

群的研究是伽罗瓦理论的基础,伽罗瓦理论用来研究与多项式及其根相关的抽象代数结构,属于高等数学领域的研究范围。你可能知道二次求根公式,也可能知道三次和四次求根公式,但没有一个通用的公式来求 5 次或更高次多项式的根,伽罗瓦理论通过研究与多项式根相关的群来帮助解开这个谜团。

因为 n 次单位根有它们自己的群结构,它们在伽罗瓦理论中占有重要的地位,尤其是因为这种结构很容易使用。单位根群满足对易性,这意味着你调换两个相乘对象的顺序不会改变结果,而且它们总是“循环”的,这意味着你总是可以通过将单个元素与自身相乘来生成整个群。

在伽罗瓦理论中,与交换群相关联是探索多项式中得到的一个非常好的性质,并且单位根的影响远远超出了 xn − 1 形式的多项式。结果表明,伽罗瓦理论中任何与交换群相关的多项式都有根,这些根可以表示为不同单位根的和。从某种意义上说,单位根构成了某个数学领域中所有多项式的基础。1900年大卫·希尔伯特提出了 23 个数学问题,用以指导接下来100年的数学探索方向,将单位根的作用推广到其他数学领域是希尔伯特第 12 题的目标。现在,一个多世纪过去了,人们仍在研究第 12 个问题,并取得了一些进展,但数学家们还没有完全解决这个问题,也许很快他们就会找到问题的根源。

练习

1

证明四次单位根也是八次单位根。

答案

设 α 为四次单位根,那么 α4 = 1 。等式两边同时平方,得到 α8 = 1 。因为 α 满足 α8 = 1 ,所以它是八次单位根。

2

 找到其他四个八次单位根。(提示:是其中之一,但你需要把它写成 a + bi 形式。)

答案

注意, √ i 是 8 次单位根,因为如果 α = √ i  ,那么 α2 = i ,所以 α8 = i4 = 1 。为了求出,设 √ i = a + bi ,两边同时平方,得到 i = a2 – b2 + 2abi 。它告诉你 a2 – b2 = 0 以及 2ab = 1,通过代数运算得含有 i 的根 √2 /2 + √2 i /2 。另外 3 个单位根是√2 /2 − √2 i /2 ,−√2 /2 + √2 i /2,和 − √2 /2 − √2 i /2 。

3

什么时候 n 次单位根也是 m次单位根?

答案

当 m 是 n 的倍数时,这是成立的,它遵循简单的指数法则。设 αn = 1 以及 m = kn。那么 αm = αkn = ( α)k = ( 1 )k = 1 ,所以 α 也是 m 次单位根。

4

一个“ n 次本原单位根”是指这样的一个 n 次单位根,它的幂次方包含了所有n次单位根。例如, i 是一个四次本原单位根,因为 i 的幂是 i , –1, –i 和 1 ,对应于所有的四个四次单位根。但 −1 并不是四次本原单位根,因为它的幂是 –1 和 –1 。那么,在所有的八次单位根中,哪一个是八次本原单位根?

答案

让 α = √2 /2 + √2 i /2 。那么α是八次本原单位根,因为 α2 = i , α3 = –√2 /2 + √2 i /2 ,  α4 = –1 , α5 = –√2 /2 – √2 i /2 , α6 = – i , α7 = √2 /2 – √2 i /2 , α8 = 1 。巧妙运用一些乘法,或者一些指数定律,你可以得到其他八次本原单位根是 α3 , α5 和 α7 。事实上, n 和 n 次本原单位根之间有一个优美的关系,你可以用指数定律找到它。看看你能不能找到它!

挑战:

所有n次单位根的乘积是什么?(提示:仔细看看韦达定理吧。)

作者:Patrick Honner

翻译:C&C

审校:Nour

原文链接:

https://www.quantamagazine.org/the-simple-math-behind-the-mighty-roots-of-unity-20210923/

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