【CC讲坛】梁进:大自然是个数学老师

数学是人类与自然交流的语言和揭开奥秘的钥匙。自然规律的抽象是数学,自然美的表达是数学。万物皆数,让我们一起找寻大自然中暗藏的数学密码。

大家好,我是同济大学数学科学学院的梁进,今天我来和大家分享大自然中的数学奥秘。

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我的演讲以唐代诗人王之涣的一首小诗开始

白日依山尽,黄河入海流。

欲穷千里目,更上一层楼。

这首小诗的上一联描绘了大自然的壮美景观,下一联以一种数学的方式,隐喻着人和自然的关系,我们想要深入地了解自然,我们就得站得更高,看得更远。

我小时候物质生活比较匮乏,水果是比较稀罕的。有一次我拿到一个苹果久久舍不得吃,放在手里转啊转的。看着苹果心里就寻思着,为什么苹果会是圆的呢,为什么它长成了一个球形呢?

当时我想了半天,给自己找到的答案就是它如果不长成球形,如果长得有些棱角,那么这些棱角就是最容易受到伤害的部分。后来长大了,我学了数学,我知道对于一个三维体来说同样的表面积,球形是最大体积的形状。也就是说,苹果长成了它一种最优的形式。

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小的时候我也喜欢望着太空胡思乱想。有一次我问我的父亲:天到底有多大?父亲并没有直接回答我,他只是反问我说:你认为天有多大呢?我想了一下说:天应该是一个很大很大的盒子。他笑了,他接着问我:那么这个盒子的外面又是什么呢?我被他问住了,我当时想了想又说:那个盒子的外面应该还是天吧。他说:对了,这就对了,天就比任何一个有限的盒子都要来得大。后来我学了数学,我学了微积分,碰到了无穷的概念,就知道了无穷就是比任何一个有限的盒子都要来得大。

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大自然给了我们很多简单的形态:我们看到太阳、月亮是圆的、是球形的。我们还看到各种的植物,它们的果实、它们的花朵是球形的,它们的枝干是圆柱形的,以及它们的叶子是扇形的。

我们还有很多的晶体的形态,地下的矿石是多面体的形状存在着。上面的那一个图形是碳原子形成的分子结构,我们知道,它不一样的结构会有不一样的物理性态,底下的那个正方形的样子是食盐的晶体结构。晶体给了我们一些多面体的,数学中的几何形状。自然通过一些简单的几何形状,告诉了我们一些信息,数学就是研究这些最简单的形状来开始的。

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数学是从代数、几何开始,代数就研究数,几何就研究形,最后随着研究的更加深入,通过这些简单的形状,我们得到了这样的一些信息:三角形的稳定性 ;矩形的规则性;圆形的圆满性、优化性;直线的简单性、直达性;曲线的柔和性等等。

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大自然也有很多的规律,有些规律我们是直接能感受到的,比如四季的交替,日月的交替,声波的传播,还有神秘的间歇泉等等。数学的发展,以它自己的方式来描述这样的一些规律,这些方式其中之一就是函数。

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大自然是美的,中间有很多很漂亮的东西,比如花朵的形状,花籽的排列,还有枝杈的角度,以及神奇的海螺,还有花椰菜的状态等等,这个背后都有一个神奇的比例关系,叫做黄金分割。这个比例就是0.618和1.618,这两个数是无理数,它们之差是等于1 ,它们是互为倒数的。大自然通过一些很简单的形式表现给我们,例如说黄金三角形、黄金矩形、黄金角度、黄金数列、还有黄金螺线等等。

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大家有没有注意到过我们有一句话叫做:没有一片雪花是同样的。而关于雪花,你如果是愿意拿着放大镜去观察一下的话,你就会发现放大以后还是有很精细的结构,如果你把放大镜放的更大,你会发现这种精细的结构还是存在的。所以大自然中有这样的一种形态,这种形态在很多时候能发现,譬如说地脉、叶脉、芦苇花、还有火山岩等等。

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在上个世纪有一位数学家叫芒德勃罗,他曾经提了一个问题,他问道:英国的海岸线到底有多长?这个问题听起来好像比较简单,海岸线有多长,你拎个尺子去量就好了。结果当你真的拿着尺子走到到海岸线的时候,你就会发现,这是一个不可能完成的任务。因为海岸线曲曲折折、弯弯绕绕,你越量越长,所以芒德勃罗就从中引出了一个新的数学分支叫做分形。

分形描述的是在任意小的尺度里,都有这种精细的结构,而且它具有一定的自相似性。这个里头我们给大家展示两个比较简单的例子,一个叫做科克曲线,一个叫谢尔宾斯基三角形。我就以科克曲线为例,科克曲线它是一种递归的方式定义的。我们先定义一个等边三角形,然后把这三角形的边分成三等份,再从三等份中间的那个部分,让它再长出一个相似的三角形。这种方式你就不停地做下去,做到一定程度后,你就会发现,会得到一个像雪花一样的图案。

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那么现在问题来了,这一朵雪花的周长会是多少呢?首先你会知道这朵雪花,一定是被框在一个有限的二维面区域里,但是因为它是递归构造的,所以它的周长就是一个级数的形式,而这个级数是发散的,这就意味着它的周长是无穷长。在一个有限区域里头的,一个无穷长的曲线是个什么概念?数学会告诉你,这条曲线的维数不再是1,它是多少呢?它是1和2之间的一个无理数。

这张很漂亮的图是计算机模拟的,不断重复的这么一个过程,计算机模也做不到无穷,但是它做到了次数很大很大,比我们人做的次数要大多了,我们会发现它形成一种特别美妙、令人窒息的美和复杂。

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在十七世纪有一位哲学家、数学家叫笛卡尔。他当时穷困潦倒,躺在一个小破旧旅馆的床上,望着天花板上的蜘蛛网在那儿发呆,忽然一个灵想击中了他,他想着代数点可以和几何点互相对应起来,于是就提出了直角坐标系。今天我们知道直角坐标系,中学都会学到,而且现在把它叫做笛卡尔坐标系

今天的“网”更是不得了,它不仅仅把代数点和几何点对应起来,还有各种各样的关系,甚至风马牛不相及的关系都可以连起来,这就是我们的互联网时代,这张网把我们一网打尽,而这张网的源头就是一个小小的蜘蛛。

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数学以它的方式发展着,发展出很多很深奥的学科出来,其中有一门叫做微积分。很多同学进了大学都是会去学微积分,而且觉得它很难,但是大自然却用很多形式,为我们诠释了微积分的很多的概念。这几张图是我在世界各地拍的,还有两张图是射电望远镜拍的,例如相切、趋近、差分、剖分、还有最值、收敛和发散等等。这些图片中的现象,在我们学了数学以后,马上就可以用数学去解释,这些现象看起来不是很简单,其实可以算出来。

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例如说很多人都见过彩虹。你有没有发现一件事,不管你在什么时间,在什么地点观察到彩虹,彩虹的虹点就是最高的那个点和你眼睛,以及地面的夹角好像都是不变的。对的,微积分可以计算出来,告诉你,那个角度就是42º。

我们很多人还很喜欢水生动物,鱼在水里头自由自在游,样子非常可爱,但是你有没有注意到,鱼在水里从来不是一条直线地游,是忽上忽下地游,为什么要这样游呢?因为它要借助重力,去达到一个省力的状态。微积分可以根据鱼的重量,根据水的阻力,计算出鱼最佳的游角度。

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现在问题就来了,我刚才说的花儿、草儿、还有这些鱼儿,它们为什么以数学的方式在那儿行为,在那儿生活着呢?这个好像有点不可思议,但是背后的原因就是它们必须要以一种最佳的方式,才能在最激烈的大自然的竞争中生存下来,而数学就是解开最优方式的方法。

数学还解开了一些我们人类自古以来的一些疑问,比如说遗传。我们知道有一句俗语叫龙生龙,凤生凤,老鼠生儿打地洞

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生物是如何把自己的生物密码遗传给下一代的?这个问题一直困惑着人们。上一个世纪有一位遗传学家叫孟德尔,他做了很多遗传试验,其中通过豌豆花解开了显性遗传和隐性遗传的数学的方式。

后来人们有了进一步的发展,特别是DNA的发现,当时大家认为我们找到了遗传密码。不过遗传密码还有很多工作要做,于是大家开始写DNA基因组的基因组序列。基因组序列写出来以后,大家就傻了眼,为什么?这个就是一部天书,看不懂,真是看不懂,里面的信息我们完全无法捕捉,我们只能知道几个片段是什么意思,大量的信息不懂,所以大自然给了我们更大的一个谜,这个谜就是基因的密码。我们人类是喜欢接受挑战的,要解开这个密码的工具或者说方法就是数学方法。

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数学在我们的经济生活和社会生活中同样也起到了很大的作用。我们刚刚结束了第七次人口普,为什么要做人口普查呢?因为我们有数学模型,这个数学模型可以刻画人口变化的一些规律,通过这些规律,我们来制定政策,制定我们的管理方案,从而达到科学管理的目的。这个数学模型中间有好多参数,这些参数是根据我们的文化背景,生活习惯,我们的观念,科技水平,生活水平,经济水平等等因素,在不停地变,所以我们需要实时地通过人口普查,从实际数据中获取这些参数,让我们人口普查的模型,更加确切地反映我们的实际情况。我展示了一个非常简单的模型,这个模型就是人口滞阻增长模型。我们真正用的模型比它复杂,右边的这个图就是这个模型所描绘的图像。

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在大自然中不仅有人类,还有很多的物种,这些物种相互之间都有很多的关系,关系很复杂,但是你可以把它简化成基本上有三个最基本的模型。物种形成了我们大自然中的生物链,这三种最基本的关系就是捕食模型,驱替模型还有互助模型。

而我们人和大自然之间的关系,最近出了一点问题,大家都知道这个问题就是温室效应。为什么温室效应会引起大家那么大的重视呢?因为我们有数学模型,可以用数学模型去模拟、去刻画温室效应带来的后果,我们发现这个后果真的还是比较严重的。所以我们要通过不停地调整我们人类的行为,以达到和大自然和谐相处的目的。

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还要通过数学来调整我们的行为,大自然对你不检点的行为会有警告,这些警告就是通过自然灾害告诉你。这些自然灾害包括龙卷风、海啸、火山、地震、还有最近施虐我们全球的新冠肺炎以及其它的病毒。这些东西数学也是要去进行刻画、了解、描述的。描述这些东西对数学来讲也很挑战,因为所有的这些灾难都有突发性。我们想要了解它的规律,我们现在做了一些工作,但是还远远的不够,只有我们真正了解这些规律,我们才可以减灾,我们不敢说控灾,我们只能说我们可以最大程度地减灾,让我们从自然灾害的警告中警醒过来。

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这个里头我给大家展示一个模型,这个模型就是传染病的数学模型,最近是用的很多。这个模型当然是一个简单的形式了,真正用的比这个要复杂。那么这个简单的模型实际上是三个方程的方程组,这三个方程的描述了患病人群,还有易感人群以及死亡人群之间的关系,其中有三个重要的参数就是感染率,死亡率和治愈率。我们现在的抗疫措施就是调整这三个参数,就是提高治愈率,减少死亡率,减少传染率,然后能达到我们尽快地让疫情控制下来的目的。

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太空对我们人类来说是永远的奥秘,最伟大的科学家都为此做了很多的工作。牛顿提出了三大定律,奠定了经典物理学的基础,而且他还和另外一个数学家莱布尼兹,一起提出了微积分。在他们的同时代,还有一位天体学家叫开普勒,也提了一个三大定律,描述了行星的规律。其中有一个规律就是说,行星是绕着太阳,以一个椭圆形的轨道进行运行,而且太阳就在焦点上。而牛顿的定律基本上是说物体、星体、和物体之间的关系,所以这两个定律看起来是不一样的,但是通过微积分可以证明,这两样东西都是等价的。更有甚者,当时根据这些定律计算,还预示了当时的观察手段还看不到的两颗星,一颗是海王星,一个颗冥王星,观察技术提高以后,证实了海王星和冥王星的存在。

在上个世纪,爱因斯坦也提出了广义相对论,他的数学计算基本上很多都用到了很高深的像黎曼几何这样的东西。当时他还预言了一件事情就是引力波,在当时是观察不到的。引力波在他预言以后将近过了差不多一百年,今天我们测绘的、观察的手段都有了很大的提高,而我们在今天观察到了,并且证实了引力波的存在。我们看到像爱因斯坦,像牛顿都是伟大的科学家,他们同时又是数学家。

科学跟自然的关系是最紧密的,而数学正是科学的基础。

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关于科学,我非常喜欢一首英语的小诗,这首诗我把它翻译过来就是:

为什么飓风会旋?

为什么水波会断?

为什么火焰会燃?

为什么闪电会颤?

我们关于这个世界的问题,

与生俱来。

科学可以回答这些疑问,

然而科学更是问问题的程阶。

数学和科学的关系,科学和自然的关系是这样子的。所以我们可以看到:

自然规律的抽象是数学;

自然美的表达是数学;

数学是我们与自然交流的语言;

揭开自然奥秘的钥匙就是数学。

数学对我们来说不仅仅是很多人心里中算算账,买买菜那种意思,而是我们和自然之间关系的一种纽带和联系。

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最后我的演讲以我写的一首词为结尾,这首词就是《望海潮·致新年》这首词的最后两句话:寄故人来日,多聚阳晴。即便风雨,也是清爽伴君行。

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我讲的内容,写在了我这本书里边,这本书获得了2020年5月的中国好书,这本书就是《大自然是个数学老师》。

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