中二所教你荡秋千 | 正经玩

　　小时候荡过秋千的举左手

　　小时候摔下来过的举右手

　　今天中二所来教大家荡秋千

　　实验器材

　　所标杯、铁架台、弹簧、重物

　　实验过程

　　首先将弹簧挂在铁架台上，将重物挂在弹簧上

　　将重物竖直向上轻轻抬起一点，然后放手

　　会发现随着重物上下振动

　　居然慢慢荡起了秋千

　　原理解说

　　对于我们的系统，或者是秋千，存在两个方向的振动：

　　竖直方向弹簧的振动，和水平方向的摆动。

　　当两个方向的振动满足一定的关系时，便会发生共振，使摆动振幅越来越大。在物理上，这种现象称为参数共振。

　　参数共振得名于系统的参数随着时间变化，比如本例中摆长在随时间改变。这导致了摆的周期，或者说振动角速度随着时间周期性的变化。

　　接下来让我们进行……亿点点计算。

　　在摆动的小角度近似下，水平方向的摆动对竖直方向的振动影响不大，我们可以直接写出摆长以简谐方式变化。

　　那么此时水平方向单摆的运动方程为

　　参数Ω随时间变化。

　　对方程进行近似：

　　根据微分方程理论，方程可能存在如下形式的解，其中a和b随时间变化缓慢

　　将解代入方程，得到

　　又根据微分方程理论，假设解具有指数形式

　　代入方程，得到

　　解出

　　可以知道在

　　时，α为实数，单摆振幅会逐渐增大。

　　划重点！经过一通计算，我们知道了当纵向振动频率约为横向摆动频率的2倍时，摆动振幅会越来越大。

　　再代入弹簧振子和单摆的频率公式，设k为弹簧劲度系数、l为弹簧原长、mg为重物重力、Δl=mg/k为弹簧静止时伸长量。

　　解出

　　我们得到结论，挂上重物后，弹簧伸长量等于弹簧原长的1/3时，可以发生参数共振。

　　在荡秋千时，发生的事情与上面的类似。

　　当我们在秋千上，在最低点站起、在最高点蹲下时，就在以秋千频率两倍的改变秋千的摆长。根据我们上面的计算，就会发生参数共振，让秋千越荡越高。

　　另外，中二所也在第203期Q&A栏目中回答过这个问题哦。