球冠面上的“事”，怎样说才清楚

完整的球面切去一片就成了球冠面了，可别小看了它，很多有趣的应用都和它密切相关呢！

人眼角膜是一片张角为60度的球冠面，医生要测量它的面形，诊断后才能给你动激光手术矫正视力；光学镜面无论是凹的，还是凸的，都是完美的或偏离极小的球冠面，光线在上面不停地反射、折射，最终绘出一张张美丽的图像；双向反射分布函数，被用来描述材料在光照下反射能量在半球面上分布，被广泛应用于游戏渲染中，给你带来真实感；高数值孔径光学系统（如光刻机、高分辨率显微镜）的像差表述、局部地磁场建模等都是球冠面上的事情。

图1(a) 人眼角膜为张角60度的球冠面

图1(b) 相机镜头里各种透镜都是球冠面

图1(c) 材料的双向反射函数；图1(d) 超高分辨率光学聚焦系统

伽利略说数学是描述世界的语言，可球冠面上的“事”用现有语言真的很难说清楚。使用平面上的函数，如勒让德函数、傅里叶级数等，很容易把弯曲面上的事说“平”了。著名的球谐函数（Spherical harmonics）是整球面上的“王者”，在描述氢原子电子能谱上“功勋赫赫”，但是到了球冠面上却“畏首畏尾”，说话含混不清。

因此，获得一组数学表达，能将球冠面上发生的事清晰地表达出来，是科研人员长久以来的愿望。它必须满足三个条件：（1）在球冠面上是完备的，这样在球冠面上任意连续的分布，都可以用这组函数以任意精度逼近；（2）在球冠面上是正交的，这样信息传递没有冗余，拟合过程数值稳定；（3）具有显式表达，这样就能通过直接计算或递推获得指定阶次的表达式，利于计算编程使用。简而言之，就是准确、简洁、优美。

近期，中科院南京天文光学技术研究所研究人员郑奕和中国科学院大学研究生魏凯等人从平面单位圆与球冠在拓扑形态上的同构出发，构造了两者之间的一一映射，使用Zernike多项式原理，系统推导出球冠面上的正交完备函数系的获得方法。在此基础上，获得了3组具有解析表达的函数。

第一个是“半球谐函数”（Hemispherical Harmonics），形态见图2(a)。它在半球面上的正交性、完备性获得了证明，表达式与球谐函数相同，但有特殊的栅格分布，见图2(b)。半球谐函数的发现不仅加深了对球谐函数的理解，还揭示了平面Zernike多项式与球谐函数之间内在关联。第二个是“Zernike球面函数”（Zernike Spherical Functions），第三个是纵向球面函数（Longitudinal Spherical Functions），它们在任意球冠上都具有正交不变性，甚至可以拓展到超半球冠，适应性强。

图2(a) 前15项半球谐函数HSH的形态；图2(b) 半球谐函数在球谐函数中的分布，黄色格点为半球谐函数，灰色格点为伴随半球谐函数，两者组合为球谐函数。

研究还讨论了球冠面上数据拟合的问题。通过对拟合协方差矩阵条件数的分析，所获球冠函数相对球谐函数、Zernike多项式具有显著优势，计算稳定，而且对噪声不敏感。

图3(a), (b), (c)分别是球谐函数、Zernike函数、半球谐函数在半球上的拟合协方差矩阵，可见只有(c)中的半球谐函数为单位矩阵，球谐函数和Zernike函数的协方差矩阵存在大量非对角元素不是零，是线性相关的；图2(d) 协方差矩阵条件数比较，半球谐函数为1.0不随阶次变化，Zernike函数的条件数随阶次线性增加，球谐函数高于半球谐函数几个数量级，研究获得的半球谐函数优势明显。

课题还对所获函数的逼近能力进行了验证，对半球上的阶跃函数进行了拟合，结果显示球冠函数能够逼近台阶函数，而且数值稳定。

图4(a) 用4阶、20阶和140阶球冠函数拟合半球上的台阶分布; (b) 拟合残差随阶数下降的曲线、

该项研究成果已在国际光学期刊《光学快报》（Optics Express Vol. 27, No. 26 37180–37195, 2019）上发表。

来源：中国科学院国家天文台南京天文光学技术研究所