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58岁完成数学难题突破?我又打开了高数课本…… | 科技袁人Lite第94期

导读

今天袁老师为我们介绍了一个科学界的“励志故事”——张益唐十年如一日地从事数学研究,最终在数学难题上获得突破。

虽然取得成就看上去很晚,但其实张益唐很早就展现出过人的数学天分,以至于当年他北大数学系的同学在了解他之后纷纷得出结论:看来我不适合搞数学研究(原来北大数学系的学生想法和我一样)。

但恰恰是这样一个“数学痴”,却遭遇了命运的玩笑,遭受了一次又一次的挫折:在本应苦读的年纪却因为时代的问题,成了制锁工人;好不容易研学一帆风顺,却因为导师自己的错误,竟然没拿到推荐信,失去了学术未来;颠沛流离,靠各种打工度日,竟然时隔多年才得以重新回归学院。但在所有经历中,最为不易的是,张益唐始终没有放弃过对数学的热忱,不管多么艰苦绝望,都在尝试攻克艰深的数学难题。或许这种决不妥协放弃的劲头,让他在现实里吃了不少苦头,但也让他能坚持到一般人看不到的答案出现吧。对于数学家来说,58岁已经是绝对的“高龄”;但现在已超过60岁的张益唐,又开始继续研究黎曼猜想……

今天袁老师为我们介绍了一个科学界的“励志故事”——张益唐十年如一日地从事数学研究,最终在数学难题上获得突破。

虽然取得成就看上去很晚,但其实张益唐很早就展现出过人的数学天分,以至于当年他北大数学系的同学在了解他之后纷纷得出结论:看来我不适合搞数学研究(原来北大数学系的学生想法和我一样)。

但恰恰是这样一个“数学痴”,却遭遇了命运的玩笑,遭受了一次又一次的挫折:在本应苦读的年纪却因为时代的问题,成了制锁工人;好不容易研学一帆风顺,却因为导师自己的错误,竟然没拿到推荐信,失去了学术未来;颠沛流离,靠各种打工度日,竟然时隔多年才得以重新回归学院。但在所有经历中,最为不易的是,张益唐始终没有放弃过对数学的热忱,不管多么艰苦绝望,都在尝试攻克艰深的数学难题。或许这种决不妥协放弃的劲头,让他在现实里吃了不少苦头,但也让他能坚持到一般人看不到的答案出现吧。对于数学家来说,58岁已经是绝对的“高龄”;但现在已超过60岁的张益唐,又开始继续研究黎曼猜想……

视频链接:

https://www.bilibili.com/video/av75786364?from=search&seid=17648662911736672827

部分评论:

文仲卿:

张益唐大神真的是大器晚成,苦尽甘来。我们也要培养更多出更多这种坐得住冷板凳的人

DoctorYao:

张老师在那么艰苦的环境下都没有放弃自己喜爱的数学,真的太让人感动了。在现实的泥泞中摸爬滚打也没有放弃数学,这就是真正的热爱吧500

精彩呈现:质数的最小间隔有上限,人的奋斗没有上限 | 袁岚峰

双十一刚过,许多人是不是正处在剁手后的吃土时间?今天,我们就来介绍一位吃土界的宗师级人物。他倒不是买了太多东西,而是在很长时间内根本没钱买东西。但与众不同的是,他在各种艰难困苦的条件下,都一直在研究世界难题,最后终于石破天惊。他就是传奇数学家张益唐。

       

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张益唐

张益唐做了什么呢?回答非常有意思。

数学家的成果往往很难向大众介绍,因为仅仅听懂他们在研究什么问题都需要很多背景知识。而且张益唐是当代人,一般而言,越往后的就离普通人越远。然而,张益唐却是个大大的反例,他的研究成果是很容易解释的。容易到什么程度呢?小学水平就够了!

首先,大家都知道什么是质数(prime number),对吧?质数就是只能被1和自己整除的自然数,也被称为素数。能被1和自己之外的数整除的自然数,叫做合数(composite number)。

最小的质数是2,下一个是3,然后是5,然后是7。显然,2以外的质数都只能是奇数。我们沿着奇数一路看下去。

下一个奇数9不是质数,因为它等于3
× 3。下面两个奇数11和13,又是质数。下一个奇数15不是质数,它等于3 ×
5。再下面两个奇数17和19,又是质数。下一个奇数21不是质数,它等于3 ×
7。下一个奇数23,又是质数。再下面两个奇数25和27不是质数,它们等于5 × 5和3 × 3 ×
3。再下面两个奇数29和31,又是质数。如此等等。

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100以内的质数和合数表

我们可以观察到什么现象呢?

一开始,质数十分密集,但后面变得越来越稀疏。这是因为数越大,可能的分解方式就越多,它成为质数的几率就越低。

这就引出了一个基本问题:质数的数目是有限还是无限呢?也就是说,会不会到了某个数以上,就全都是合数,再也没有质数了?

对此我们有明确的答案:质数有无穷多个。这是欧几里得在《几何原本》中证明的。这个证明非常经典,而且一点都不难,你能想到吗?我们会单独录一个视频,来证明质数有无穷多个。

然后,另一个观察是,有些质数之间只相差2,例如3和5、5和7、11和13、17和19、29和31。我们把这样的一对质数称为“孪生质数”(twin primes)。显然,随着质数变得越来越稀疏,孪生质数也会变得越来越稀疏。

例如23周围就没有孪生质数,因为21和25都不是质数。23是第一个单独出现的质数,而在后面的质数中,单独出现的几率会越来越高,孪生出现的几率会越来越低。

所以,一个自然的问题就是:孪生质数对的数目是有限还是无限呢?也就是说,会不会到了某个数以上,就全都是合数或者单独出现的质数,再也没有孪生质数了?

这个问题小学生都能理解,但答案我们还不知道。数论的一大特点,就是一个普通人提出的问题,无数聪明人奋斗几千年都不一定能解答。

目前,我们已知的最大的孪生质数对是:

3756801695685× 2666669 - 1和3756801695685 × 2666669+ 1。

这两个数用十进制表示,长度有20多万位!

一个合理的感觉是:随着数的增大,孪生质数出现得越来越稀疏,但永远不会消失,它们总会倔强地在某个地方再次出现。绝大多数数学家都相信这个命题,但谁也不能证明或证伪它。

这个命题叫做“孪生质数猜想”(twin
prime conjecture),是整个数学中最著名的未解之谜之一。1900年,德国数学大师希尔伯特(David Hilbert,1862 -
1943)提出了指导二十世纪数学发展的23个问题,其中孪生质数猜想、哥德巴赫猜想(Goldbach’s
conjecture)和黎曼猜想(Riemann hypothesis)被打包作为第八个问题,统称为关于质数分布的问题。

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希尔伯特

从1900年到现在,119年过去了,这三个猜想仍然没有解决。不过在孪生质数猜想方面,我们取得了重大的进展。这个进展就来自张益唐。

2013年,他证明了:存在无穷多对质数,它们的间隔小于7千万。

这意味着什么呢?

在此之前,我们不但无法证明有无穷多对只相差2的质数,而且把这里的2替换成任何一个有限数值,我们也无法证明。也就是说,我们不能排除这种可能:任给一个自然数N,间隔小于N的质数对都只有有限个。而现在,我们就可以排除这种可能了。

所以,张益唐把对质数间隔的估计,从无限一下子拉到了7千万!如果拉到2,就是证明了孪生质数猜想。虽然我们还没有做到这一点,但很容易理解,从无限到有限是质的区别,而从7千万到2只是量的区别。因此,张益唐的定理是人类在孪生质数猜想上第一个真正重大的突破。

张益唐的人生,跟他的成果一样富有戏剧性。他是我所知的大器晚成的最惊人的例子。

1955年,张益唐出生于上海。他的父亲是中国最早研究移动通信的专家之一,母亲在邮电部工作。张益唐从小就对数学显露出超常的兴趣和天赋,但由于时代的捉弄,不能上大学,只能在北京制锁厂当工人。

恢复高考后,1978年,23岁的张益唐考上了北京大学数学系。虽然年龄偏大,但是金子总会发光的。张益唐的数学才能,在同学中大放异彩。

我的前辈朋友、著名作家王小东,跟张益唐就是北大数学系的同班同学,而且是铁哥们。王小东告诉我,他原本对自己的数学天赋很有自信,见到张益唐之后就明白了,纯数学还是让张益唐这样的人去搞吧。他们系还有人后来成为了成功的企业家,他也感谢张益唐。感谢什么呢?感谢让他早早打消了作数学家的想法,找到了适合自己的道路。

1982年,张益唐本科毕业后,跟随著名数学家潘承彪读硕士。1985年,在北京大学校长、著名数学家丁石孙的推荐下,到美国普渡大学读博士,导师是来自台湾的莫宗坚。这一段经历看起来一帆风顺,但出人意料的转折马上来到。

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潘承洞和潘承彪(右)兄弟,展涛摄于1995年

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丁石孙

1991年,张益唐博士毕业。他的博士工作研究了一个著名的猜想,叫做“雅可比猜想”(Jacobian conjecture)。但他的证明以导师莫宗坚的一个结果为基础,而在审稿时发现莫宗坚的那个结果有问题,所以他的证明也就不成立了。

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莫宗坚

这倒也罢了,论文出错也是常有的事。真正令人吐血的是,莫宗坚觉得张益唐让自己在学术界丢了脸,于是不给他写推荐信。喂喂喂,这是什么逻辑?是你犯了错误,为什么迁怒于学生?

没有导师的推荐信,张益唐就无法在学术界找到工作。不要说正式职位,连博士后都找不到。毕业即失业,真是太惨了。

在这段岁月里,张益唐送过外卖,卖过炸鸡,还在汉堡店当过会计,作过收银员。有时他没地方住,只能在车里过夜。

但惊人的是,他在这种吃土的情况下都没有放弃数学。有空的时候,他就去附近的图书馆读代数几何和数论方面的期刊文章。

有一位北大化学系的校友开了几家赛百味的连锁店,很想资助张益唐,但又怕被拒绝。于是他想了一个点子,每个季度请张益唐来帮忙给连锁店报税,让张益唐比较轻松地得到报酬,同时有比较多的时间去研究数学。

当时IT产业正在蓬勃发展,所以张益唐如果想赚钱,应该很容易。我的许多化学专业的同学朋友都转行去搞IT了,数学专业的就更不在话下。

1999年初,张益唐一位在英特尔工作的北大数学系师弟唐朴祁在纽约找到他,请他帮忙解决一个网络设计中技巧性很强的数学问题。张益唐花了一个星期就解决了,他俩一块申请了一项专利。但此后,张益唐就再也没有做过IT,还是潜心做数学。

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唐朴祁(左)与张益唐

唐朴祁希望帮助张益唐重返学术界。张益唐有一位北大数学系师弟葛力明,在新罕布什尔大学担任教授。唐朴祁找到葛力明,然后葛力明向系主任推荐张益唐来讲微积分。系主任请张益唐来面试,这时唐朴祁和葛力明发现找不到张益唐,不知道他又到哪里打工去了。

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葛力明

经过一番周折,葛力明在美国南方的一个赛百味快餐店联系上了张益唐。两三天后,张益唐就开车来到了东北部的新罕布什尔大学,他把自己的全部家当都在车上带来了。

就这样,44岁的张益唐开始在新罕布什尔大学担任临时讲师。这是博士毕业之后,张益唐第一次接近学术工作——尽管只是每学期上4门课,按日结薪,收入比教授低得多,没有研究经费。但这些都不重要,至少那里有办公室,甚至有纸和笔就足矣。

2001年,张益唐在《杜克数学期刊》(Duke Mathematical Journal)上发表了一篇论文,研究的是黎曼猜想,它是数学中最著名、最困难、最重要的未解之谜之一。原来这些年里,无论在送外卖还是在打地铺,张益唐一直在思考这个大问题。

系主任阿佩尔(Kenneth Ira Appel,1932 - 2013)想以这篇文章提拔张益唐为固定职位。顺便说一句,阿佩尔是一位世界著名的数学家,他证明了四色定理。但他这个提议被其他人否定了,理由是:张益唐发的文章太少。

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阿佩尔和一幅表现四色定理的地图(https://www.telegraph.co.uk/news/obituaries/10158040/Kenneth-Appel.html)

事实上,到现在为止,张益唐总共只发过三篇论文。第一篇是1985年出国前在《数学学报》发的,第二篇是2001年在《杜克数学期刊》发的,这两篇研究的都是黎曼猜想。第三篇就是孪生质数猜想的突破。你看,他从来都没有研究过小问题!

爱因斯坦有一句名言:“我不能忍受这样的科学家,他们在一块木板上找到最薄的地方,然后在那里钻很多洞。”话虽如此,但绝大多数科学家为了职位和生计,还是难免做些妥协。

例如证明费马大定理的英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew

Wiles),在1986年全力以赴投入这场冒险之前,就事先准备好了一些论文,每隔一段时间发一篇,以免学校因为他长期不发论文把他开掉。直到1993年他公开了费马大定理的证明,大家才知道原来他在攻这个大问题。

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怀尔斯和费马大定理

但张益唐就更加决绝,他从来没有做过任何妥协。即使在数学家当中,他对大问题的专注也是令人叹为观止的。

2005年,张益唐50岁时,终于从临时讲师成为正式讲师,因为他的微积分讲得很好。按照正常的轨迹,他似乎会在这个位置上平稳地退休。

英国数学大师哈代(Godfrey
Harold Hardy,1877 -
1947)有一句名言:“比起其他任何艺术和科学,数学更是年轻人的游戏。”这是大家公认的,例如数学界的最高奖之一菲尔兹奖,就只颁发给40岁以下的数学家。哈代还有一句名言:“我从没见过哪个年过半百的数学家开创重大的数学进展。”

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哈代

但显然,这是因为他没有见到张益唐。

2008年,一群世界顶尖的数论专家在美国国家数学科学研究所开了一个会,研讨如何攻克一个重要问题:质数的最小间隔是否有限。美国数学家Daniel
Goldston、匈牙利数学家János Pintz和土耳其数学家Cem Yildirim等人在这个问题上已经钻研多年,看起来只差最后一步了。

但讨论了一周之后,会议以失败告终,这最后一步始终跨不过去。Goldston绝望地认为,自己在有生之年都不会得到答案了。

不过,张益唐并不知道这个会议。2010年,他在浏览这些数学家的工作时发现,离得出最终结论似乎只剩一根头发丝的距离了。这个问题他已断断续续想了多年。他后来对媒体说:“我有一种直觉,我没法去论证这种直觉。但直觉告诉我,我应该可以做出来。”于是他暂停了其他研究,把所有的精力投入到这个问题中。

2012年7月3日,一个阳光明媚的下午,张益唐在他的朋友、迈阿密大学音乐教授齐雅格的家里访问。在等待出发去看齐雅格指挥的音乐会时,张益唐到他家的后院,想看看那里不时出没的梅花鹿。鹿没有看到,张益唐却突然看到了灵感。各种线索结合在一起,指出了一条跨越头发丝距离的道路。

2013年4月17日,张益唐把论文提交给最著名的数学杂志《数学年刊》(Annuals
of
Mathematics)。那位欣赏他的系主任阿佩尔在两天后去世,值得欣慰的是他已经知道了张益唐的成果。这篇论文的标题十分简洁,叫做《质数间的有界距离》(Bounded
gaps between primes)。摘要也十分简洁,我翻译如下:

“本文证明了

其中pn是第n个质数。

我们的方法是对Goldston、Pintz和Yildirim最近关于相邻质数间小间隔的工作的改进。这个证明的一个主要成分是Bombieri-Vinogradov定理的一个更强版本,它只在模不包括大的质因子时适用(参见下面的定理2),不过对我们的目的足够了。”

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《质数间的有界距离》摘要

这时,张益唐已经58岁了,依然默默无闻。我从来没见过科学家在这么大的年龄成名的,更不用说数学家了。但从这时开始,与他相关的节奏骤然加快。

审稿人之一伊万尼克(Henryk Iwaniec)最初拿到这篇论文时,看了一眼就扔到一边,认为不可能是对的。然后,他又把论文拿出来,看了引言部分,觉得不像是在胡说八道。

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伊万尼克

接着的一个星期,伊万尼克不断地给主编发邮件。第一次说,这文章有很好的想法。第二次说,这文章有非常非常好的想法。第三次说,这文章有非常非常非常好的想法。第四次说,这文章有可能是对的。再后来说,这文章很可能是对的。

第二个星期,伊万尼克把自己关了起来,按照张益唐的方法重新证明了一遍,觉得应该是对的。第三个星期,他开始给论文逐字逐句地挑毛病,但最后的结论是:我彻底地研究了这篇文章,我发现,挑出一个最小的差错也非常困难。

《数学年刊》的审稿周期一般都很长,动辄以年计。但这篇文章3个星期就接收了,创造了《数学年刊》创刊130年来接收论文最快的纪录!

质数的最小间隔有上限,而人的奋斗没有上限。正如《三国演义》中,诸葛亮给周瑜写的祭文中的一句话:

“始不垂翅,终能奋翼!”

张益唐在知道文章被接收后,告诉他太太留心最近的媒体报道,“你可能会在上面看到我的名字”。他太太回复说:“你是不是喝醉了?”然后,她果然看到了张益唐的名字。

2013年5月14日,《自然》杂志在“突破性新闻”栏目里,宣布一个重要的数学猜想被敲开了大门。5月20日,《纽约时报》大篇幅报道了张益唐,引起了世界轰动。

各种荣誉和职位蜂拥而来。除了菲尔兹奖因为年龄限制他拿不到,其他能拿的奖几乎拿了个遍。他在新罕布什尔大学直接升级为正教授,2016年又转到了加州大学圣塔芭芭拉分校(University ofCalifornia, Santa Barbara,简称UCSB)。

然而张益唐还是那个张益唐。

成名前,他经常给新罕布什尔大学数学系的饮水机换水,所以秘书老太太对他的印象不错。他成名后,老太太问葛力明,张益唐还会继续给系里换水吗?葛力明说会的。葛力明果然很了解张益唐。事实上,直到转去UCSB的前两天,他还给系里换了水。

转到UCSB三年来,他似乎连学校的启动经费都没有申请完,因为他只需要纸和笔,没地方花钱。他的研究风格也依然如故,只关注大问题,对小问题不屑一顾。

其实,7千万只是一个粗略的估计。张益唐并没有挖掘出他的方法的全部潜力,因为最重要的是存在这样一个有限的数,而不是这个数的大小。一旦知道存在上限,人们就会寻找各种各样的办法来改进这个估计。著名的华人数学家、菲尔兹奖获得者陶哲轩倡议建立了一个群策群力的项目“PolyMath8”,就是让大家来做这件事。

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陶哲轩

在张益唐的论文发表两个星期后的2013年5月28日,这个数就下降到了6000万。5月31日,下降到了4200万。6月2日,1300万。6月3日,500万。6月5日,40万。到2014年2月,这个数被降低到了246,现在暂时定格在这上面。

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PolyMath8项目的当前纪录(http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes)

以目前的方法,这大概就是极限了。再往下,应该还需要新的思想。所以对于孪生质数猜想,我们现在的最佳结果就是:存在无穷多对质数,它们的间隔不超过246。

但张益唐完全没有参与这方面的工作。在做出7千万的突破后,他就从这个领域离开了。显然,这种改进性质的工作在他看来品位和吸引力不够高。菲尔兹奖获得者乐于干的工作,他都看不上!

张益唐在干什么呢?他又回到了自己绝大部分时间都在思考的大问题:黎曼猜想。其实孪生质数猜想对他来说只是一个插曲,他真正最关心的还是黎曼猜想。具体地说,他在研究与广义黎曼猜想(generalized
Riemann hypothesis)有关的朗道-西格尔零点猜想(Landau-Siegel Zeros conjecture)。

这个问题的重要性何在呢?

张益唐说:“对于数论学家来讲,有两个宇宙。在第一个宇宙里,不存在朗道-西格尔零点。但在第二个宇宙里,存在此零点。我们的困惑是,不知道我们到底生活在哪个宇宙里面。”

他的同事、数论学家Stopple解释说,如果张益唐能证明朗道-西格尔零点猜想,“就像是同一个人被闪电劈中两次”,“如果他从未成名,那么做出这项工作也会让他跟上次一样被世界瞩目”。

张益唐对自己能解决朗道-西格尔零点猜想充满信心,认为没有大的障碍,剩下的都只是技术性问题。有人问他如何看待哈代对数学家年龄的观点,他的回答是:

“这个说法可能对我并不适用。我仍然相信我的直觉,我仍然对自己有信心。我仍然有不少愿景。”

这让我想起今年以97岁高龄获得诺贝尔化学奖的John B. Goodenough。这位老爷子每次接受采访的时候,都说自己还想实现某个科学目标,“我才90几岁,我还有时间!”然后哈哈大笑。

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诺贝尔奖网站上Goodenough的图片(https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/2019/goodenough/facts/)

在历史上,有很多科学家终生投身于大问题,但一无所获。例如匈牙利数学家F.
鲍耶(Farkas Bolyai,1775- 1856),他一生都在尝试证明欧几里得几何的第五公设,没有成功。不过他的儿子J.
鲍耶(János Bolyai,1802 -
1860)从中受到了启发,干脆推翻这条公理,开创了非欧几何。能在历史上留下名字的人都是幸运的,更多这样的勇士我们不知道姓名,但无论如何,他们的精神值得崇敬。

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J. 鲍耶

张益唐不但给我们留下了一个“始不垂翅,终能奋翼”的传奇,而且他的宠辱不惊也耐人寻味。无论是穷到吃土,还是接受校友师弟的帮助,他都坦然处之。而无论是盛名还是大奖,也没有改变他的谦和淡泊。各界人士对他的热情帮助,以及他成名后对社会的热情反馈,都充满了人性的光辉。正如《论语》里孔子称赞颜回的名言:

“贤哉,回也!一箪食,一瓢饮,在陋巷,人不堪其忧,回也不改其乐。贤哉,回也!”

附录:对质数无穷多的证明

质数有无穷多个,这是《几何原本》第九篇的第20个命题。为什么是这样呢?欧几里得用反证法给出了一个经典的证明:

假如质数的个数是有限的,那么把这个个数记为n,把所有的n个质数记为p1、p­2等等,直到pn。

现在考虑一个数q,它等于p1乘以p­2等等,一直乘到pn,最后再加上1。请问,q是不是质数?

如果q是质数,那么它就是一个新的质数。这就跟前提的假设“质数只有n个”矛盾。

而如果q不是质数,那么它可以分解质因数。但它的质因数显然不是p1到pn中的任何一个,所以我们还是获得了新的质数,仍然跟前提的假设“质数只有n个”矛盾。

由此可见,前提的假设是错误的。质数不可能只有有限个,也就是说有无限个。证毕。

你看,这是多么精妙的思想!任何能够理解的人,都会被这种思维的魅力深深吸引,体会到一种不可代替的美感。

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