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看到苹果落到地上,牛顿是怎样想到万有引力定律的 | 戴岚山

导读

展示物理学分析问题的方法,从苹果到牛顿、开普勒、卡文迪许和爱因斯坦......物理学整个学科的创立从牛顿1687年的名著《自然哲学的数学原理》开始。哲学中自由的思辨在科学里成为大胆的假设,运用数学和逻辑进行严格的推理。更重要的是必须用实验和观测结果做最终检验真理的标准。物理学就是哲学、数学与实验相结合后产生的科学。

1687年,如日中天的康熙皇帝,独自在后宫跟传教士学几何,玩自鸣钟。但遥远的西方产生了面向大众的科学,一个多世纪后就改变中国的国运。

和正在学物理的朋友谈物理方法

即便你不是物理专业的,你应该也听说过这个故事:牛顿在苹果园中看见苹果掉在地上(也有说被苹果砸中头的),悟出了万有引力定律。这个故事是否可信?从科学的角度我们可以问,一位训练有素的物理学家,能否在当时的条件下,从苹果的落地推导出万有引力定律?答案是肯定的。

准备知识

要想再现牛顿在苹果园中的思考,我们首先要清楚在那个著名的苹果落地之前,牛顿已经知道什么。牛顿当时掌握的知识,大部分都已经被今天的高中生学到了。

首先是牛顿的力学三定律:

第一定律:如果不受力,物体保持匀速直线运动

第二定律:如果受力,物体的质量乘以加速度等于受力,F = ma

第三定律:两个物体之间的作用力和反作用力大小相等方向相反

太阳系的结构:经过天文学家的长期努力,破除了宗教迷信,人们已经知道地球和行星都围绕着太阳转。不仅如此,天文学家还对地球和几颗主要行星的轨道进行了精密的观测。这些轨道的数据,对发现万有引力定律起到了决定性的作用。

此外,牛顿掌握的数学工具,比今天的高中生多一些。牛顿发明了微积分,微积分在发现万有引力的过程中,也提供了帮助。

对于物体的下落和重力,物理学早已研究得很清楚了。早期的人类,天真地认为重的物体比轻的物体下落快。也有聪明人意识到这肯定不对,他是这样推导的:

把一个重的物体和一个轻的物体绑在一起,会形成一个更重的物体。如果重物比轻物下落快,那这个更重的物体一定下落更快。另一方面,轻物和重物绑在一起下落,它本来的下落速度慢,一定会向后拖累重物的下落,所以这个复合物体下落的速度一定会比重物要慢。这就自相矛盾了,倒是重物和轻物下落一样快可以自圆其说。

这套推理暗含的假设是物体的下落源于内因(比如它的质量),如果有其他外力干预(比如空气阻力),这个推理就不成立了。今天我们知道,苹果之所以比树叶下落快,不是因为苹果更重,而是因为树叶的形状,让它受到的空气阻力比重力大得多。

后来伽利略在比萨斜塔上展示了重球和轻球同时落地。物理学最终是要靠实验检验的,但这个例子表明,推理的力量也很强大。

今天初中生在物理课中都会学到:如果不计空气阻力,所有物体的下落过程都是匀加速运动,所有物体的加速度都是g。用牛顿的第二定律,我们知道物体都受到了一个重力,和它的质量成正比:F = mg。

从苹果的下落追寻重力的起源

看到那个苹果落到地上,牛顿首次开始思考重力的起源。古人觉得物体向下落天经地义,但当时牛顿已经知道大地是个球,地球是悬浮在宇宙中的。宇宙中并没有一个叫做“下”的方向,地球好像也没有向哪个方向落下去。英国和中国的苹果都会落到地上,但两地苹果的下落角度差得很大。重力,更像是地球对所有物体的吸引。

但到底是什么因素造成了地球对物体的吸引力?重力正比于质量,也就是说有质量的物体都会被吸引,似乎是物体的质量产生了吸引力。但为什么这个吸引力只在地球和物体之间,为什么两个苹果之间没有吸引力?

把这个问题暂时放一放。我们应用一下牛顿第三定律。如果地球吸引苹果造成了重力,那么这个重力会有一个反作用力,就是苹果对地球的吸引力。地球对苹果的吸引力正比于苹果的质量,苹果对地球的吸引力一定正比于地球的质量。但作用力和反作用力大小相等,唯一的可能性就是苹果和地球之间的吸引力正比于苹果质量乘以地球质量。

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这样一来,之前的问题有答案了:如果两个物体之间的吸引力正比于二者质量的乘积,那么地球对苹果的引力正比于地球质量乘以苹果质量,两个苹果之间的吸引力正比于两个苹果质量的乘积。前者是苹果的重量,后者一定比苹果的重量小很多很多。所以,很可能两个苹果之间是有吸引力的,只不过它太小,我们观察不到。

如果地球因为有巨大的质量产生引力,那么地球和太阳,和其他行星之间是否也会有引力?

地球在绕太阳旋转,但还没有人想过为什么,天上的事情自然是上帝安排的。很可能,牛顿在苹果园里,从地面想到了天上。地球绕太阳公转的轨道是一个近似的圆形,地球在环绕太阳做匀速圆周运动。

做匀速圆周运动的物体,是有一个加速度的。虽然速度的大小不变,但方向不断改变,随时都在拐弯。这个加速度的方向指向圆心,大小由下面这个公式给出。

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转动加速度公式

这个结果,用牛顿的微分很容易证明。今天高中的物理老师也会把这个结果教给学生。

如果我们可以把牛顿第二定律用到整个地球上,那么地球一定是受到了一个指向轨道圆心的力,那正是太阳的方向!地球绕太阳的公转,完全可以用太阳的吸引力解释。因为地球有速度,才不会像苹果那样掉下去。看来,很可能天上的、地上的物体,都满足同样的力学定律,都有同样的引力规律!

但为什么是地球绕着太阳转而不是太阳绕地球?为什么所有的行星都绕太阳转?这一定和地球上的所有苹果都落到地面的原因一样:太阳的质量一定比所有的行星都大很多,因此太阳对每一颗行星的引力,比它们之间的引力大很多。

引力和距离的关系

两个物体之间的引力大小,应该和距离有关,距离越远引力越小,这才合理。否则,太阳比地球的质量大很多,我们和苹果都会被吸到太阳上面去。但引力和距离是什么样的关系呢?

自然界最基本的规律,往往都是简单的。比如牛顿第二定律,再简单不过了。我们不妨猜猜,是跟距离成反比?还是跟距离的平方成反比?

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等等,苹果和地球之间距离怎么算?实际上,万有引力定律,和牛顿三定律一样,都是针对质点的。质点是抽象出来的简单物体,有质量,没有尺寸和形状结构。地球和苹果之间的引力,需要把地球分割成无数的质点,分别计算苹果和这些质点之间的引力,再求和。这个计算,需要用到牛顿发明的积分。

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地球对苹果的引力

如果引力和距离的平方成反比,积分的结果特别简单:地球对苹果的引力,相当于把地球的质量都集中到地心那个点上。在引力的公式中,用苹果到地心的距离(就是地球半径)代入就可以了。如果引力不是和距离平方成反比,就没有这么简单漂亮的结果。苹果树下的牛顿也许还不知道这些,但他回到书房后,一定可以推导出这个结果,今天数学基础好的大学生,都可以独立地完成这个证明。

如果地面的事情太复杂一时算不清楚,不妨去想想天上的东西。在太阳系内,星体的半径比它们之间的距离小很多,诺大的地球和太阳,反而可以被近似地当作质点。各大行星绕着太阳转动,半径有大有小,它们会给出引力与距离关系的信息。

早在半个多世纪前,德国天文学家开普勒,就对各大行星的轨道进行了精密的观测和计算,总结出了三个定律。其中第三定律特别简单:行星的轨道半径越大,公转周期就越长,半径的立方和周期的平方成正比。如果引力的距离平方成反比,就可以解释开普勒第三定律。这个推导非常简单,今天一个物理和数学基础好学生,也可以闭着眼睛在苹果树下完成这个证明。需要用到上面那个转动加速度公式。

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开普勒第三定律的推导

最后一行的公式右侧,是一个只和太阳质量有关,对地球和所有行星都一样的常数,这就证明了开普勒第三定律。至此,从当时已知的科学知识出发,我们通过天马行空的思考,和严谨踏实的推理,发现了万有引力定律。整个推导过程并没有用到复杂的数学,牛顿完全可能在苹果园里完成它。

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牛顿的万有引力定律

回到书房,牛顿还做了更多的工作。开普勒还有另外两条定律:第一定律:地球和行星的轨道是椭圆形的(很接近正圆的椭圆形),太阳位于椭圆的一个焦点上。第二定律:行星和太阳的连线,单位时间内扫过的面积是一样的(也就是说,行星离太阳近的时候,速度会快些)。

牛顿用他的力学第二定律,万有引力定律,以及微积分数学工具,证明了这两条定律。这下实锤了,我们不仅定性地,而且定量地证明了宇宙中的天体,是按照和地面物体一样的牛顿力学定律和万有引力定律运行的。

后记

这还不算完,万有引力定律预言了一个新的物理现象,就是两个苹果之间,任何两个物体之间,也有一个很小的吸引力。这个现象必须得到实验证实,这条定律才会被彻底接受。但这个力太小了,测量它是需要很高的技术。在牛顿发表万有引力定律的111年后,终于由卡文迪许完成了这个实验,他用了两个大铅球,测量了它们之间的引力符合万有引力定律,同时第一次测到了万有引力常数。

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万有引力常数

由于地面物体的引力是非常微弱的效应,关于引力的实验总是很困难。后来,爱因斯坦于1916年发表了更高级的引力理论--广义相对论;100年后的2016年,他预言的引力波才首次被探测到。

牛顿把万有引力定律,发表在他1687年的名著《自然哲学的数学原理》中。怎么是哲学而不是物理学?那个时候,物理学和整个科学都还没有完全从哲学中分离出来。是牛顿创立了科学方法,成为了现代科学的奠基人。在哲学里,你可以自由地去思辨。在科学里,你也可以大胆假设,但你必须使用数学和逻辑进行严格的推理;更重要的,你必须用实验和观测结果做最终的检验真理的标准。物理学,就是哲学、数学与实验相结合后产生的科学。

我们写这篇事后诸葛亮的文章,正是为了展示物理学分析问题的方法。

1687年,康熙王朝正如日中天。但遥远的西方产生了科学,一个多世纪后就改变中国的国运。

在西方,万有引力定律也是重大的思想突破。之前人们总认为天上的事情归上帝管,现在发现它们遵守和地面物体同样的物理规律。虔诚的教徒牛顿激动地说:我现在只需要上帝给我第一推动力,然后宇宙万物就都属于我的定律了!

感谢那个苹果,让人类的认识向前迈出一大步!

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