我们仍未知道那天祖冲之算出圆周率的方式 | 科技袁人Lite第92期

导读

科学的方法论是西方首先发现的，但绝不是只有西方人才能用的。我们以前自己没有发现科学的方法论，但这丝毫不妨碍我们现在努力学习科学，发展科学。种一棵树最好的时间是十年前，其次是现在。只要做好事，永远都不算晚。科学，就是人类最大的好事。

敲黑板了同学们，袁老师这期结尾所做的总结，其实也是对中国科技实力应有心态的最好注解。

非要去争“中国是科学鼻祖”或者“中国古代科学领先西方”，其实本身就是一种不自信的心态。我们是后来者又怎样？我们从前越是落后，不才越说明我们在追赶中所做工作的伟大吗？

当祖冲之写下《缀术》的时候，都还不存在美国这个国家，美国人并不会因此对自己的科技水平失去自信。

科学的出现和发展，确实是西方对于全人类的重大贡献，我们坦然接受这一点，并且还在新中国这70年里成为最好的“学生”。未来，我们希望的是中国能继续把科学这人类思想的伟大火炬高举下去，带领全人类继续探索前方的黑暗，这才是真正重要，并且唯一重要的事。

视频链接：

https://www.bilibili.com/video/av74165621

部分评论：

carlren_98：

对于古代数学，古希腊欧几里得发展了几何学，中国则发展了以算法为代表的代数学，两者对现代数学是同等重要的。

除此之外，古代世界都没有产生16世纪以后的现代科学，所以只说中国没科学，而说古代希腊和欧洲有科学，这是典型的西方中心论的论调。

古代中国科学技术成就斐然，袁老师自己也说14世纪之后一些高深的数学成就都被后人束之高阁，殊不知他本人就是这样的后人，《中国古代科学技术史》（数学卷）（中科院编）对古代中国数学有详细全面的研究，刘徽更是人类历史上首次实践“极限”思想来解决科学问题的数学家。

如果你是深入研究了中国古代科学技术史，从而得出“”中国古代科学成就不如西方“”的结论也就罢了，而你显然没有读过前人（中科院）编纂的《中国科学技术史》，而不过是人云亦云罢了。自己搞不懂祖冲之的数学方法和数学成就，就代祖先说技不如人。您这种行为既不尊重祖先，更不尊重自己。

灰色之魔女回复 @天小牛 :

这个其实以前说过的，科学诞生于西方很大程度上是个运气问题，首先欧几里得的诞生需要几百年的繁荣文明，几何原本并不是完全靠欧几里得一人所得，而是古希腊甚至追溯到古埃及几百年的数学研究沉淀，欧几里得学习并且整理成系统理论。其次最关键的，欧几里得的成果能够保存下来是个很大的运气，因为并不是欧几里得之后科学就自然而然发展了，西方也经历了长达千年的黑暗中世纪，这阶段西方的科学并不比中国发达，直到文艺复兴时期，欧洲从阿拉伯世界吸收了这些从古希腊流传千年的知识，才发展出科学这一系统。

这些巧合缺一不可，所以袁老师一再强调爱因斯坦评论中国古代没有发展出科学的那句话，没有发展出科学是正常的，发展出科学才是奇迹。古埃及到古希腊几百年的繁荣才诞生了几何原本，颠沛流离到了阿拉伯世界千年没有失传本身就是奇迹，也许欧几里得并不一定是唯一做出类似发现的人，只不过其他人的研究成果没能保存下来（比如中国春秋战国诸子百家，最后流传下来的只不过其中很少的一部分而已，包括祖冲之在内中国古代很多科学方面的研究都逐渐失传，没能积累起来成为系统性的学问）。而阿拉伯世界在这千年内并没有完全吸收这其中的思想，不然很有可能科学先诞生于阿拉伯世界而不是西欧，之后这部书又反哺了西欧而没有流向亚洲，种种巧合，造就了科学的诞生。稍微少点运气，整个人类现在都还在封建社会继续种田。

Rachmostakoviev回复 @carlren_98 :

强行同等重要........九章算术也就是对东亚影响比较大罢了，而且论对现代的影响，光有萌芽什么用?因为涉及了早期的代数学，就可以将其代表代数学？现代的代数学成就难道是笛卡尔莱布尼茨拉格朗日这些欧洲数学家在九章算术的基础上得出的？

精彩呈现：从四大发明说起（四）只要做好事，永远都不算晚 | 袁岚峰

上次我们说到（从四大发明说起（三）点金术的手指 | 袁岚峰），科学的力量归根结底在于两个方法论，逻辑体系和实验试错。前者源自欧几里得几何学，后者源自文艺复兴时的科学家。

这就引出了一个问题，中国古代的科学怎么样呢？例如有网友问（https://www.bilibili.com/video/av73381815）：

“很难想象西方古代科学自觉了几千年和自发几千年的中国古代科学能旗鼓相当，直到近现代才全面领先！”

基本的回答是：这种想法的前提就错了。整体上，西方古代的科学比中国高明得多！

这个判断可能让许多人非常吃惊。中国古代的科技成就不是有很多领先世界几百年吗？

这里的关键在于，分清“科学”和“技术”。中国古代确实有很多领先的科技成就，但其中绝大部分是技术，如四大发明。而在科学方面，整体上远不如西方。

许多人的第一反应，可能是列举出许多中国古代的科学成就。其实我一直都在说，这些都很好，都是对人类的重要贡献。但是你千万不要觉得说一个东西好，就等于其他东西差。如果你认真了解过西方古代的科学，你就会发现他们的成就更高。

最典型的就是数学的公理体系，即数学的基础。在这方面，欧几里得的《几何原本》是一骑绝尘。其他文明都没有类似的东西，大家都没思考到这个层次。

 《几何原本》

公理体系是什么？学过平面几何就知道，公理体系是这样一套思维方法：首先给出若干个定义和公理，这些定义和公理要尽可能的简单和自明，然后基于这些定义和公理进行推理，推理的结果叫做定理。

真正惊人的是，推理的结果可以完全不是显而易见的，但它们的可靠程度跟最初的公理相同。回想一下上次讲解的“五点共圆”！只要你承认平面几何的公理，如“两点确定一条直线”，你就会承认五点共圆，虽然这个结论远不是直觉可以看出来的。

五点共圆

这是人类历史上最大的震撼之一：从常识性质的公理出发，可以推出完全超越常识的定理。

事实上，现在所有的数学著作都是这么写的：先给出若干个定义和公理，然后进行一步步的推理，证明一个个定理。简而言之，数学的关键在于证明。这是数学著作的标准框架，这个框架是《几何原本》发明的。中国现代有很多杰出的数学家，如陈省身、华罗庚、陈景润、张益唐，他们都是在这样的框架下工作的，他们的成果都是在这样的框架中证明了新的定理。

现代人对这个框架已经习以为常，好像空气和水一样。但是别忘了，这个框架也是需要发明的哦。如果在框架中增加内容是了不起的成就，那么发明框架是什么级别呢？

有人可能会问：中国古代的数学成果是怎么来的？难道中国古代的数学家不会做证明吗？

答案很有意思。中国古代的数学家做过证明，例如祖冲之和祖暅父子推出了球体积公式V = (4π/3)r3。这当然是重要的成就，但问题在于，中国古代数学家没有从来列出过明确的公理。他们只是从他们认为显然正确的一些命题，推出另一些命题。

祖冲之

这无论对思维的深度，还是对讨论交流，还是对教育传承，都十分不利。因为，你怎么知道对这个人显然的命题，对那个人是不是也显然呢？数学著作中最令人吐血的说法，莫过于“显然可得”啊！

在欧几里得之前，古希腊的数学也是处于这种水平。欧几里得的伟大贡献在于，第一次把定义和公理写得清清楚楚。从此，人类的思维深度就跟以前不可同日而语了，人类文明在宇宙中升级了！而且，任何读者都可以看懂了，因为道理是完全公开的，不需要任何神秘的领悟或者死记硬背。

另一个重要的后果是，列出公理以后，人们就可以考虑相反的公理。例如对欧几里得的第五公设“过一条直线外一点有且仅有一条平行线”，就一直有推翻它的种种努力，最后导致了非欧几何。非欧几何并不是说欧几里得几何是错的，而是说如果修改一条公理，会得到另外一个自洽的体系。

具体而言，非欧几何分为两种。一种说的是：过一条直线外一点可以做两条平行线。另一种说的是：任何两条直线都必然相交，不存在平行线。乍看起来它们好像跟现实世界毫无关系，但实际上，把它们看作曲面的几何就可以方便地理解。两条平行线的好比马鞍面上的几何，没有平行线的好比球面上的几何。后来，非欧几何成了广义相对论的数学基础，一个似乎是思维游戏的东西支撑了描绘物质世界的基本理论。

欧几里得几何与非欧几何

这种研究，对古代的中国人是不可想象的。按照原来的路子走下去，再过一千年中国人也不会去考虑非欧几何，因为我们一直没达到欧几里得几何的水平。

了解了这些背景，再去看中国古代的数学，你就会发现绝大多数都是计算，很少有对关系的证明。

例如，三角形的内角和等于180度。

三角形内角和等于180度

等腰三角形的两个底角相等。

等腰三角形底角相等

三角形的两边之和大于第三边。

三角形的两边之和大于第三边

两条直线相交，形成的对顶角相等。

对顶角相等

你觉得这些是常识吗？但这些命题，中国古人都没考虑过。你之所以觉得它们是常识，是因为你在初中学过。而它们都出自《几何原本》，分别是第一篇的第32、第5、第20和第15个命题。所以，“数学的关键在于证明”，这件在现代人看来天经地义的事，中国古人是不知道的！

《几何原本》中还有一些远远不是常识的定理，例如第九篇的第20个命题：质数有无穷多个。又如全书的最后一个命题：正多面体有且只有五种。你知道如何证明它们吗？以后有机会我们再详细介绍。

五种正多面体

说回中国古代数学中的计算，一个重要的成果是数论中的“中国剩余定理”。我们会在附录中解释这个定理。

中国剩余定理很了不起，但请仔细想想这个名字：我们听说过英国某某定理、法国某某定理或者意大利某某定理吗？没有。为什么呢？因为来自这些国家的定理太多了，根本数不过来。所以，中国剩余定理一方面说明了中国数学有成果，另一方面也说明了中国数学的成果之少。

再举一个例子，祖冲之把圆周率算到3.1415926是中国古代最著名的数学成果之一。那么，祖冲之是如何计算的呢？

奇妙的回答来了：不知道！

为什么会不知道呢？基本的脉络是：在祖冲之之前，三国时代的刘徽把圆周率计算到3.14，我们知道他用的是“割圆术”。祖冲之是在刘徽的基础上改进的。但问题在于，如果直接用割圆术，那么算到第七位的计算量非常巨大，不应该是祖冲之的时代能实现的。所以我们现在只能说，祖冲之用的大概是某种推广的割圆术，更具体的就不知道了。

刘徽

你也许会问，祖冲之自己难道没说吗？

诶，故事的重点来了。祖冲之把自己的做法写在了一本著作中，这本书叫做《缀术》，曾经被作为官方的数学教材。在所有的官方数学教材中，《缀术》的难度是最高的，学习时间也是最长的。其他的教材只要学两年，它要学四年。即使这样，还是大多数学生学不会，结果学着学着就失传了。

失……传……了……所以我们现在不知道，祖冲之是如何计算圆周率的。学渣真是误事啊！（大雾）

这是开个玩笑。真正的问题在于，中国古代数学没有明确的证明体系，所以很不容易看懂，给教育传承造成了巨大的困难。

失传的远不只是《缀术》，还有很多其他著作。由此造成的一个后果是，中国古代数学的高峰出现在宋元时期，而明朝的数学水平就急转直下，前人高深的著作几乎全都没人能看懂了。这就是我为什么说，古人的科学发展往往是进一步退两步。

开玩笑地说，就像看武侠小说的感觉，随着时代的发展，中国的武功好像越来越退步了。早年用的是降龙十八掌、六脉神剑这种神功，后来却连点穴都成了高深武功，甚至连扔石灰都出来了！

再说回中国古代的数学计算。你在算一个数量之前，首先要知道它的存在，对不对？如果你压根没有某个概念，那么你当然不可能去计算它。现在，我们就来指出一些中国古人没想到过的概念。

例如，三角函数。大家回顾一下中学数学课本，讲到正弦、余弦、正切、余切等三角函数的时候，有没有提到中国数学家？回答是没有。中国古代数学家从来没有想到过三角函数，三角函数是古希腊数学家发明的，因为他们在研究球面几何。

又如，圆锥曲线。大家回顾一下中学数学课本，讲到椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的时候，有没有提到中国数学家？回答也是没有。中国古代数学家从来没有想到过圆锥曲线，事实上他们研究过的唯一的曲线就是圆。而古希腊数学家对圆锥曲线就有很深入的研究，例如欧几里得和他之后不久的阿波罗尼斯都有专门的圆锥曲线论著。

圆锥曲线

不知道这些概念，会造成什么后果呢？

例如科学革命的开端之一，是开普勒提出行星运动三定律。第一条定律是：行星沿着椭圆轨道绕太阳运动，太阳在椭圆的一个焦点上。如果你不知道椭圆，那么你当然不可能发现这条定律。

开普勒第一定律

这又把我们带到了天文学的比较。限于篇幅，我只在这里指出一点：中国古代的主流理论都认为大地是平的，从来没发现大地是个球。

浑天说

而古希腊人从毕达哥拉斯学派开始就意识到了地球是个球，这是他们的主流理论。例如亚里士多德指出，月食是由于地球运行到太阳和月亮之间，而月食时地球在月亮上的投影总是圆的，这说明地球是个球。如果是其他形状，就不会总是得到圆形的影子。

月食示意图

是否认识到地球是个球，对于中国和西方后来的命运有重大的影响。哥伦布和麦哲伦的航行，前提就是他们知道地球是个球。而郑和的航行，并没有让中国得到特别大的好处，原因就在于我们不知道自己要干什么。

麦哲伦环球航行路线图

以上，我们简略地介绍了中国和西方古代数学和天文学的比较。其他领域我了解得不是很多，而且在科学发展史上它们都是在数学和天文学之后成熟的，在古代大家都不怎么样，所以没有太多好比的。

有人可能会问：在做这些比较的时候，是不是把世界分为了“中国”和“其他”呢？

其实在这里可分的，毋宁说是“西方”和“其他”。在古代科学方面，真正特别的是西方，不是中国。是西方出了若干位科学伟人，而不是中国人太愚笨。其实中国的表现已经算是不错了，比大多数其他文明要强，但没有本质区别。所以一个形象的比喻是：不是你是学渣，而是班上出了一个学神。

出了个学神是好事还是坏事呢？从全人类的角度看，其实是好事。如果没有欧几里得，也许人类到现在都没发现公理体系。想想看，这样会有多少科技无法解锁？人类会被困在什么样的水平？所以，我们应该感谢别人的创造力迸发，同时自己努力做出更大的贡献，这是做人和做事的正道。

关于古代科学的故事还有非常多，我们可以讲一个系列。感兴趣的朋友们欢迎参加12月7日的观视频“答案”年终秀，我在第一个出场，到时欢迎现场提问。

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在这里我们要说明的只是：就科学而言，西方古代整体上比中国古代高明得多。中国并不是原本领先后来落后了，而是本来就不领先。这种落后并不是无足轻重的，而是造成了严重后果，例如错失大航海的机会。

在我看来，这些都是明显的事实。但有些人出于各种理由，拼命想否认这些事实。

例如，一位网友的问题就很有代表性

（https://weibo.com/3710258141/Idj8B6lQw?from=page_1005053710258141_profile&wvr=6&mod=weibotime&type=comment）：

“看了袁老师关于科学和技术的视频，中国古代到底有没有科技不是最关键的，关键的是一批文人借着中国没有科技而对国民性和民族性进行激烈的批判，这是很可怕的。”

我对此的回答是：国民性原本就是伪问题，你本来不知道科学，学了不就知道了？哪有“你以前不行以后就一定不行”这种国民性？

我必须强调一下，科学最大的好处就是，它是完全普适的，是真正意义的“天行有常，不为尧存，不为桀亡”。科学的道理任何人都可以理解，只要你认真去学。这是科学跟宗教、玄学、巫术等等根本的区别。

科学的方法论是西方首先发现的，但绝不是只有西方人才能用的。正确的思维是：“这东西太好了，我要赶快用。”而有些人的思维却是：“用了它我就失去自信了，我一定要说它不好。”

他们认为，讲西方的科学成就，就会导致西方中心论。这是非常荒诞的误解。鲁迅的“拿来主义”，才是正确的态度。

真正的自信，应该来自努力向前，而不是讳疾忌医。我从不忌讳说中国科技的缺点，因为我对它充满信心。

我们以前自己没有发现科学的方法论，但这丝毫不妨碍我们现在努力学习科学，发展科学。种一棵树最好的时间是十年前，其次是现在。只要做好事，永远都不算晚。科学，就是人类最大的好事。

附录：中国剩余定理

数论中的“中国剩余定理”是求解一次同余方程组的方法。什么叫一次同余方程组呢？典型的问题类似这样：

“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”

这个问题出自中国南北朝时期的著作《孙子算经》，意思是有个整数x除以3余2，除以5余3，除以7余2，问x最小等于多少。

在金庸的《射雕英雄传》里，黄蓉就考了瑛姑这个问题，并且告诉读者，计算方法是这样一首歌诀：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

七子团圆正半月，余百零五便得知。”

这首歌诀的意思是，除3的余数乘以70，加上除5的余数乘以21，加上除7的余数乘以15，三者加起来之后如果大于105，再减去105的倍数。

在上面的题目中，计算过程就是

2×70 + 3 × 21 + 2 × 15 = 140 + 63 + 30 = 233，

然后

233- 2 × 105 = 23。

验算一下，23除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个答案是对的。

请大家仔细想想，70、21和15这三个数的道理是什么？105这个数又是怎么来的？

简短的回答是，105是3、5、7这三个数的最小公倍数。70能被5和7整除，而除以3余1。21能被3和7整除，而除以5余1。15能被3和5整除，而除以7余1。

为什么有了这些性质，就能构造出歌诀中的算法？请大家自己思考，作为一个课后练习。

需要注意的是，这还不是中国剩余定理，它只是一个例子，不是普适的算法。普适的算法是在《孙子算经》之后大约800年，由南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出的。这个算法相当复杂，他称为“大衍总数术”，这才是中国剩余定理。

事实上，上面那首歌诀出现得更晚，是明朝数学家程大位编写的。所以《射雕英雄传》里提到这首歌诀，其实属于穿越。《中国古代重要科技发明创造》中就收录了中国剩余定理，称为一次同余方程组解法，属于上篇的“科学发现与创造”中的第25条。