从四大发明说起（三）点金术的手指

导读

科学好比点金术，牛顿三定律、元素周期表等具体的科学知识好比金子，而科学方法论就好比点金术的手指。也就是说，科学最重要的成就不是任何具体的发现，而是“发现的方法”。

上次我们说到，四大发明属于技术而不属于科学，但许多人一听这个就很不高兴。例如这样一个读者留言（从四大发明说起（二）分清科学和技术 | 袁岚峰）：

“这种议题的提出本身就是一个陷阱，来打击中国人的自信，膜拜西方文明。标准是以中华文明所谓的‘缺陷’定出来的。在没有提出四大发明以前有没有这种区分技术和科学的‘标准’？这种标准就是针对四大发明提出来的，目的就是打击中国人的自信。善良的袁老师就事论事就中了西奴们的诡计了。”

这说明，他们认为说某个东西不属于科学是一种贬低。这其实完全是个谬误，因为这世界上有很多有价值的东西不是科学，例如技术、感情和艺术都不是科学。但这引出了一个有趣的问题：一般人为什么如此喜欢和推崇“科学”这个词？以至于非要把不是科学的东西硬拉成科学，好像这样就提高了档次？

基本的回答是：在所有的理解世界的模式中，科学具有无与伦比的可靠性。

这话是什么意思呢？我们应该注意到，科学并不是人类历史上唯一的理解世界的模式。它的竞争对手有很多，例如宗教、玄学、巫术、星座、相面、炼金术，以至于局座、萧敬腾、黄旭东、杨超越等等（大雾）。

你们对力量一无所知

在人类历史的大部分时间里，科学的影响力远远不如这些竞争对手。其实科学是个后起之秀，宗教、玄学和巫术才是跟人类历史紧密伴随的默认值。

但真正惊人的是，科学最终超越了所有对手，在当今社会取得了压倒性的成功。

一个典型的表现是，绝大多数人会泰然自若地乘坐飞机、火车、汽车、轮船、电梯等交通工具，把自己的生命交给这些科技产品。大多数人都不了解这些交通工具的原理，例如伯努利原理和内燃机的冲程，但他们丝毫不为此感到困扰。

另一个典型而有点滑稽的表现，是科学与宗教地位的反转。在科学发展的早期，许多地方是宗教占据统治地位，当时宗教势力对科学家进行了残酷的打压。例如古希腊最后一位杰出的数学家叫做希帕蒂亚（Hypatia），是一位献身于数学的美女。公元415年，狂热的基督教徒在亚历山大城的街道上抓住了她，把她撕成碎片。但到了现在，传教士们却经常来沾科学的光，宣称某某教义是有科学证明的。正如一句格言所说，伪善是邪恶对美德的致敬！

希帕蒂亚

为什么科学取得了如此巨大的成功，超越了所有竞争对手呢？原因就是科学最可靠。

例如看一道经典的平面几何题“五点共圆”。任意画一个五角星，对外面的五个三角形每一个都做外接圆（即下图中五个绿色的圆）。每两个相邻的外接圆有两个交点，一个靠内，是五角星的内顶点（下图中的J、F、G、H、I），另一个靠外，是新产生的点（下图中的K、L、M、N、O）。求证：五个靠外的交点在同一个圆上（即下图中那个红色的圆）。

五点共圆

这道题非常有意思，证明并不复杂，但不容易想到。在这里我们要强调的只是，这个命题是可以严格证明的。我们会在后面的附录中给出证明，欢迎感兴趣的读者去阅读。

我们确信这五个点共圆，确信的理由，不是我们对一个五角星，拿圆规尺子一量确实如此，也不是我们对一万个甚至一亿个五角星验证了它。对特殊情况验证再多次，也不算证明，因为下一次总有可能不对。确信的理由是，我们单纯基于平面几何的定义和公理，就能推出这个命题。

仔细想想，这是非常惊人的事情。让我们回忆一下，平面几何的公理是什么？例如“两点确定一条直线”、“等量加等量仍然相等”，都是些看起来显而易见、不证自明的东西。

从一些简单的定义和公理出发，居然能够得到完全不是显而易见的命题，而且我们对它的确信程度丝毫没有衰减，——世界上居然会有这样的好事！这样的事在科学之外的领域极少出现，以至于许多人没有理解这有多么震撼。我们需要强调一下，这是科学独特的力量。

爱因斯坦在《自述》中说到：

“在12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇：这是在一个学年开始时，当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的。这本书里有许多断言，比如三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。”

因此，爱因斯坦有一句格言：

“如果欧几里得未能激发起你少年时代的科学热情，那么你肯定不会是一个天才的科学家。”

欧几里得

我来解读一下：科学使得精确的知识成为可能。这话的意思是，有了科学之后，人们才能够进行精确的推理演绎，而且推理的链条可以任意的长。在此之前，人类的各种知识都是“大概也许差不多”，充满了各种玄之又玄实际上很模糊的说法，例如五行生克和星座算命，基本的缺陷就是没法定量。只有科学才把知识提升到了精确的程度，破除了模糊。这是逻辑体系和演绎法的威力，这就是科学的第一个方法论。

不过，单凭逻辑体系和演绎法只能让我们证明数学和逻辑学命题，不能获得关于物理世界的任何知识。古人经常以为，只用头脑就能掌握现实世界的真理，但历史的发展早已证明这是一个错觉。

例如，亚里士多德认为重的物体会比轻的物体先落地，但伽利略认为两者会同时落地。哪个正确呢？单从逻辑不能做出判断，只有实验才能给出判决。最终实验发现伽利略是对的，当然是在忽略空气阻力的情况下。

伽利略

通过实验来判决，这个观念对许多古人是个重大的冲击，对大多数现代人却是理所当然的，因为大家从小都在受这样的教育。实验试错方法，这就是科学的第二个方法论。

我再来稍微解读一下。我们平常说的科学，其实包括两部分：先验的科学和经验的科学。

先验的科学就是数学和逻辑学，它的正误完全是由第一个方法论来判断的，就是逻辑推理。比如说，你不可能通过数1个苹果加1个苹果是不是等于2个苹果，来判断1  + 1是否等于2。如果你数出1个苹果加1个苹果等于3个苹果，人们的结论只会是你数错了或者有人在变魔法，而不会是1 + 1 =  3。当我们对经验事实做逻辑推理时，必须有一些在逻辑上位于经验事实之前的概念和命题作为基础，数学就属于这样的基础。

经验的科学就是物理、化学、生物、天文学、地质学等等关于现实世界的科学，也经常被称为自然科学。它的正误是由两个方法论共同判断的，需要通过双重的考验。如果一个理论内部不自洽，那么它当然是错的。如果一个理论没有内部矛盾，那也不一定正确，因为跟它竞争的其他内部自洽的理论可能还有很多。在这些竞争的理论之间做出选择，要靠判决性的实验，即不同的理论做出不同的预言，然后做实验观测哪个预言得到支持，哪个预言被排除了。

一个基本的比喻，可以帮助大家理解科学方法论的重要性。科学好比点金术，牛顿三定律、元素周期表等具体的科学知识好比金子，而科学方法论就好比点金术的手指。也就是说，科学最重要的成就不是任何具体的发现，而是“发现的方法”。

其他理解世界的模式之所以不可靠，归根结底是没有判断正误的客观标准，没有科学的方法论。有了这些方法论之后，人类就可以自觉地、系统地进步了，从误打误撞，进一步退两步，变成奋发向前，一日千里。

所以我们需要强调，科学的本质在于科学的方法论。许多人以为科学就是正确的理念，或者经验的总结，或者自圆其说的理论，或者实用的技术等等，这些都是错误的。还有不少人想把科学变得像宗教或者玄学一样无所不包，自以为是对科学的发展。其实，这些都是对科学缺少了解的表现。

正确的图景是：科学经过艰辛的历程，好不容易从各种貌似“万能”的模式中脱颖而出，沿着一条独特的正确道路一步步走到今天。如果我们不珍惜这条正确的道路，将科学和其他模式混为一谈，对它的概念任意修改，那就是一种历史性的倒退。

1953年，有一个叫斯威策（J. E. Switzer）的人写信给爱因斯坦，问他怎么看中国古代的科学。爱因斯坦的回信如下：

爱因斯坦论科学方法论

“Development  of Western Science is based on two great achievements:the invention of  the formal logical system (in euclidean geometry) by the Greek  philosophers, and the discovery of the possibility to find out causal  relationships by systematic experiment (Renaissance). In my opinion, one  has not to be astonished that the Chinese sages have not made these  steps. The astonishing thing is that these discoveries were made at all.

【翻译：西方科学的发展以两个伟大的成就为基础：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及发现通过系统的实验有可能找出因果关系（文艺复兴）。在我看来，人们不必对中国的贤哲没有走出这两步感到惊奇。真正令人惊奇的是，这些发现居然被做出了。】”

爱因斯坦的这段话非常透彻，他讲的就是这两个科学方法论。从这段话里也可以看出，这两个方法论都是西方科学家首先发现的，所以科学革命发生在欧洲。

而中国古代的科学成就，好比是捡到很多金子，但没有点金术的手指，所以没能走得很远。我经常用的表述是：中国古代的科学发展，处于自发的状态，而不是自觉的状态。

我讲这些，有些人可能十分不服。

一种常见的辩论方法，是说西方古代有多少多少落后的地方。这些当然都可以成立，不过我们要强调的是，他们发现了点金术的手指，这是最重要的。

另一种常见的辩论方法，是举出中国古代的许多科技成就。这些当然都是对人类的重要贡献，我多次向大家推荐的《中国古代重要科技发明创造》这本书就讲了很多。但很多人可能没有意识到，按照同样的标准，西方古代的科技成就要大得多。

《中国古代重要科技发明创造》

下一期，我们就来解读这个问题：中国古代的科技成就究竟怎么样？提示一下，关键就在于分清科学和技术。

附录：对五点共圆的证明

五点共圆

基本的思路是，证明这五点中的四个点共圆，同理这五点中的另外四个点也共圆，由此可见这两个圆是同一个圆，这五个点都在同一个圆上。

我们首先要指出，在这里有另一个五点共圆：A、C、N、I、K共圆。仔细看，A和C是五角星的五个外顶点中不相邻的两个，I是五角星的五个内顶点中跟AC相对的那一个，N和K是A和C这两个外顶点的外接圆在朝向I的方向产生的交点。我们要证明，这五个点共圆。

何以见得呢？我们先来证明，这五个点中的四个共圆，就是A、C、I、N这四个点。如果这个能走通，那么根据同样的道理，A、C、I、K这四个点也共圆，所以这两个圆是同一个圆，于是我们就达到了目的：A、C、N、I、K这五个点共圆。

那么，如何证明A、I、N、C四点共圆呢？一个基本的定理是，四点共圆的充分必要条件是，这四个点组成的四边形的对角互补，即加起来等于180度。因此我们要证明：

角ACN + 角AIN = 180度。

来看右下方的那个外接圆，N、C、G、H这四个点都属于这个圆，所以：

角GCN + 角GHN = 180度。

而角GCN就是角ACN，因为直线AC和直线GC是同一条直线。因此我们要证的就是：

角AIN = 角GHN。

怎么证明这两个角相等呢？来看它们的补角，即180度减去它们。角AIN的补角是角NID，角GHN的补角是角NHD。所以，我们只需要证明这两个补角相等就行了。

而这一点是立刻可以知道的，因为看左下方的那个外接圆，N、D、I、H这四点共圆！回顾一下四点共圆的另一个充分必要条件，这四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。角NID和角NHD，就是这样必定相等的两个顶角。

这样，我们走通了第一步的逻辑链条，证明了A、I、N、C这四点共圆，然后就证明了A、I、N、C、K这五点共圆。

这还不是我们最终要证的五点共圆，因为那五个点都是外接圆的交点，即K、L、M、N、O。下面，我们就来证K、L、M、N这四个点共圆。

五点共圆

为此，我们要证：

角LMN + 角LKN = 180度。

何以得知呢？

把角LMN分成两部分，它等于角LMG + 角GMN。这两个角各自在一个外接圆里，就容易处理了。下面，我们分别来研究这两部分。

来看右上角的外接圆：

角LMG = 180度 - 角LFG = 角LFA。

再来看上方的外接圆：

角LFA = 角LKA。

由此可见，角LMG = 角LKA。

再来看右下角的外接圆：

角GMN = 角GCN。

而角GCN就是角ACN。然后，我们已经知道五个点A、I、N、C、K共圆，因此：

角GMN = 角ACN = 180度 - 角AKN。

现在仔细看一下，角AKN正是由角LKA和角LKN组成的。因此，我们希望它等于180度的那两个角之和：

角LMN + 角LKN = 角LMG + 角GMN + 角LKN

=角LKA + (180度 - 角AKN) + 角LKN

=180度。

它确实等于180度。这样，我们就走通了第二步的逻辑链条，K、L、M、N这四点共圆。

剩下一个O点，根据同样的推理，O和其他四点中的任何三个也共圆。

因此最终的结论是，这些圆都是同一个，这五个点共圆。证毕。