我们能知道所有的数学真理吗？

在数学中，我们通常相信一件看似理所当然的事：对于一个命题，只要通过严格的推导把它证明出来，那么我们就相信它是真的。既然如此，我们能否知道所有的数学真理，或者说是否所有的数学真理都能被证明？这一信念背后其实隐藏着一系列关于数学基础的更深刻的问题——什么是数学证明？如何选择公理？是否存在一套完备的推理规则？等等。数学家和逻辑学家试图以形式化的方式回答这些问题，希望用一套明确的公理与推理规则刻画所有可能的数学证明，从而为整个数学建立坚实的基础。但出人意料的是，对这一计划的深入研究最终揭示了一个现实：我们对数学真理的把握有着本质上的限制，而这种限制来自数学本身。本文也将以此为线索，对逻辑学作一个简要介绍。

撰文 | 叶凌远

“Ignoramus et ignorabimus”，我们不知道，我们永远不会知道。

这是德国生理学家Emil du Bois-Reymond 在其1872年出版的著作《关于自然知识的限制》（Über die Grenzen des Naturerkennens）中写下的拉丁语格言。这句格言表明了对于科学发现的态度：我们能够发现的科学知识在本质上是受局限的。1900年，新世纪之初，国际数学家大会在巴黎举行。在会上，大卫·希尔伯特（David Hilbert）坚定地反对了面对科学探索如此消极的态度。他发表了如下这番话：

“每一个数学问题都可以被解决，这种信念是对研究者的一种强大激励。我们在内心不断听到这样的召唤：问题就在这里，去寻求它的解答吧，你可以凭借纯粹的理性找到它。因为数学中不存在 ignorabimus”。

三十年后，希尔伯特更是喊出了如下更铿锵有力的口号：“Wir müssen wissen - wir werden wissen”，我们必须知道，我们终将知道。我相信，这种对认知数学真理的坚定信念仍是大部分数学工作者所认同的。

然而，我们真的能知道所有的数学真理吗？甚至，我们真的有办法明确地回答这个问题，而不仅仅是沦为不同信仰的争吵吗？本文对逻辑学的介绍便会围绕这一问题展开。作为一些剧透，我想在本文的最后让读者了解，希尔伯特对数学求索的设想可能过于乐观了——我们对数学真理的把握有着本质上的限制：这种限制无关乎人类的智力或创造力，它是数学作为一项严格的事业所必须要面临的局限。

什么是数学证明？

要回答“我们能否知道所有的数学”这个问题，最关键一点是明确我们获得数学知识的途径。而数学的特殊之处在于，获得数学真理本质上只有一种方式：通过证明！因此，理解何为数学证明便是我们回答这一问题的最佳切口。

数学和哲学一样，是人类智力活动中最古老的领域之一。在古希腊，证明几乎可以看作一种修辞，用于在对话中说服他人相信某个命题。这一点在柏拉图的对话体写作中体现得尤为明显，《美诺篇》（Meno）更是在一般意义上探讨了人类如何获取知识这一问题。我们在此不论述这一更一般的哲学问题，但引用其中提到的一个具体例子。

苏格拉底询问一个奴隶，如果想要把一个正方形的面积扩大两倍，其边长需要扩大多少倍？奴隶的第一反应是，需要变成原本的两倍。苏格拉底按照他的回答在沙地上用木棍画出了下图左边的图案。由此，奴隶便明白了，依照他的回答，正方形的面积会变为原本的四倍。苏格拉底随后又在该图形上添加了四条对角线，如下图右所示。

由于每条对角线都把四个小正方形分割成了面积相等的两份，中间构成的正方形其面积也会是外部大正方形面积的二分之一，即为原本小正方形面积的两倍。苏格拉底通过这样的对话说服了奴隶这一事实：若要把正方形的面积变为原来的两倍，其边长需要变为如上右图中对角线的长度。整个对话便构成了一个“证明”。[1]

现代数学意义上的证明可以说是从欧几里得开始的。欧几里得的《几何原本》以定义-公理-定理的顺序展开，构建了许多几何和数论的结论。毫不夸张地说，欧几里得的书写影响了之后两千多年人类探索数学的方式：数学要从解释所使用的术语的定义和预设的公理开始，根据逻辑推演得出结论。同时，古希腊时期人们已经意识到这就是证明的一般结构。亚里士多德在其《后分析篇》（Analytica Posteriora）中已经提到：演绎科学围绕着一些无需进一步解释即可理解的基本概念，和一些被视为理所当然的基本真理或公理而构建。已定义的概念和定理都被简化为这两者，后者是通过证明实现的。

依照这一范本，数学获得了惊人的发展——即使语言不通，不同地区的数学家们仍然能够相互理解并认可彼此的定义、公理以及推演步骤，在历史的长河中不断推进人类对数学的理解。初学者可以通过阅读与模仿习得这样的技巧，随后发挥自己的聪明才智发明新的定义、证明新的定理，从而推动数学的发展。

然而，能够写下数学证明并不意味着对证明本身有了完整的理解。要描述所有可能的数学证明，我们所面临的是如何理解证明的一般结构中所出现的几个要素：

1. 如何确定数学的基本概念？

2. 如何选取公理？

3. 推理的规则有哪些？

若仔细想想，这几个问题的答案都不是显然的。很长一段时间内，数学定义要么依赖于之前已经定义好的术语，要么必须超出数学的语言，依赖于人们对某些基本概念的直观。例如，在《几何原本》中，欧几里得将“点”定义为“没有部分的事物”，而后者并没有更进一步的阐释，而是默认了读者对此有足够的直观理解该定义的内涵。显然，我们也不能一直通过引入别的概念来解释现有的定义——否则就会陷入无穷尽的循环。那么，哪一个或哪些概念能够作为其他一切概念定义的基础呢？对于选定的基本概念，要选择哪些自然的事实作为公理？要使得所选的基本概念和公理能够囊括所有的数学证明，这是一件不容易的事。

其次，哪些推理规则是可以在证明中使用的？我们很容易列举出一些常见的推理规则，比如“若A推出B，且B推出C，则A推出C”，或者“若A推出C，B也推出C，则（A或B）能推出C”。历史上许多哲学家都研究过可行的推理规则，早期有亚里士多德著名的“三段论”，中国的墨家也对推理有相关的叙述。要完整地理解什么是一个数学证明，我们必须列举出所有可以在数学证明中使用的推理规则。检查列举出的推理规则是否正确，或者说是否有效，是比较容易的：若推理的前提为真，则结论也必须为真。可是，如何确保所列举出的推理规则是完全的？或者更明确地说，如何确保所有可能被证明的命题都能够依据我们所列举出的推理规则演绎得到？回答这个问题同样困难。

现代逻辑学对上面这些问题都给出了可能的答案。基于此，逻辑学对什么是一个数学证明本身给出了一个可能的严格且完整的描述。在笔者看来，这是人类对真理探索——至少是数学真理探索——旅程上一个重要的转折点，它标志着我们将探索真理这项活动本身也纳入了理性检验的范畴。

本文之后的内容就围绕着逻辑学如何回答这几个问题展开，为读者简要地介绍逻辑学的思想。在文章的最后，我们会回到行文伊始的问题，在逻辑学的角度下谈谈希尔伯特对数学发现的观念是否是恰当的。

证明的出发点：集合

数学基于非常简单且直观的基本概念发展了许多年。几何学以点、线、面等基本几何对象为基础，数论与代数则基于自然数，这些概念对于有立体感官以及计数经验的人而言是直接的。随着数学不断涉及新的复杂概念，为数学对象寻找一个严格甚至是统一的基础变得越来越重要。首先是微积分，在其发展的早期，许多计算与证明都基于对“无穷小”以及“连续体”等概念启发式的理解，并不具有严格性。之后复数与复分析的发展更是让人们对于作为一个数字的具体含义感到困惑。碍于篇幅与能力，笔者在此无法详细地整理数学中概念的发展历程。但这一节想要说明的是，到了十九、二十世纪，在戴德金、康托等数学家的努力下，以一个单独的概念为基础统一所有的数学定义变得可能了，这个概念就是集合。

一个集合直观上就是一些元素所构成的整体。集合之间最基本的关系就是集合之间的属于关系，数学家用x∈y来表明x是y的一个元素，每个集合都由其内的元素唯一确定。直观上，集合之间存在许多自然的操作：最简单的集合是空集∅，即不包含任何元素的集合；给定一些集合，我们能将它们的元素并在一起构成一个新的集合，等等。从空集出发，我们能定义自然数，例如将 0 看作空集∅，1 看作只包含0这一个元素的集合，通常记作 {0}；2 看作包含0，1两个元素的集合，记作{0,1}，以此类推。这样，每个自然数所包含的元素个数即为该自然数本身。

或许最精彩的构造是戴德金用集合的语言对实数的定义：一个实数可以看作是对有理数集某种特别的“分割”，被称为戴德金分割。实数由此便可看作是对有理数集分割的集合。从自然数和实数出发，用集合论的语言就能够清晰地描述代数与几何中的基本概念。同时，在以柯西为代表的数学家们工作的基础上，集合论的语言也为微积分、复数等近现代数学中的复杂概念提供了严格的基础。

至此，数学不同领域看似不同类别的对象都能够统一地用集合的语言描述。这是数学一次巨大的理念革新，意味着我们找到了一个可能的基本概念：所有其余的数学定义都基于集合这一基本概念，而所有的数学证明都可以从有关集合的定义与公理出发，依照严格的推理完成。

集合的公理

然而，这一理念革新潜藏着危机——对于集合，应当选择什么样的公理？在数学发展的初期，当人们仍以基本的几何对象或自然数作为基本概念时，有关它们的公理或多或少是显然的：我们有足够的直观能够直接地判断一个关于基本几何对象或自然数的命题是否正确。例如，欧几里得在《几何原本》中列出的五条几何的基本公理，或是自然数的归纳公理，这些在直观上都是显然的：我们能直观上验证这些公理的正确性，并且往往从这些简单且基本的公理出发，我们能够证明大部分有关几何与自然数的基本事实。

某种意义上说，我们对集合仍具有良好的直观。但是，对于集合直观的简单运用却会带来矛盾——这就是著名的罗素悖论。罗素悖论基于一个简单的直观：由于一个集合只是一系列元素构成的整体，任何一个性质P都应能定义一个集合 {x|Px}，该集合内的元素即为所有满足性质P的对象。然而，不加限制地使用这一公理会导致矛盾：定义R≔{x¬x∈x}，即 R 为所有自己不属于自己的对象所构成的集合。根据其定义，R∈R当且仅当 ¬R∈R，矛盾。

为了解决这一“数学危机”，在确定有关集合的公理时需要更为小心谨慎。本文不再详述集合论公理具体的发展历程了。只是告诉读者，在以德国数学家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）和亚伯拉罕·弗兰克尔（Abraham Adolf Fraenkel）以及挪威数学家托拉尔夫·斯科伦（Thoralf Skolem）的努力下，集合论有了一个被数学界普遍接受的公理化系统，现如今通常被记作 ZFC（Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice）。

在为数学提供基础的层面上，公理集合论取得了巨大的成功：目前数学界已经普遍认可所有已知的数学定理都可用集合的语言描述，并从集合论的公理出发得以证明。换句话说，目前绝大多数已知的数学都是集合论在 ZFC 公理下的推论。以此看来，集合论的公理系统无论如何都是人类探求真理历史上的一颗明珠。

推理规则的完全性

此时，我们剩下的唯一一个问题就是确定数学证明所允许的推理规则。如前文所言，对这一问题的研究比集合论要古早得多。不过，从现代的眼光来看，两千多年来人们都只局限于发现有效的推理规则，而没有对推理规则进行一般性的研究。范式的转变来自德国哲学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）于1879年发表的重要著作《概念文字》（Begriffsschrift）。弗雷格毫无疑问是现代形式逻辑的奠基人，他首先构造出了一个现代意义上的形式逻辑系统，清晰地定义了何为一个数学证明。自此之前，没有人想过存在一套完全的证明原则能够用于所有可能的数学推理：

“所有正确推理所必需的内容都已完整表达，而非必需的内容通常不予指出；一切都无需猜测。” （《概念文字》，第3页）

我们之前已经提到，一个有效的推理规则只需要满足一个条件：若前提为真，则结论也必须为真。很显然，满足此条件的推理规则是无穷多的，因为我们只需把已知的有效推理规则组合在一起就能形成新的有效的推理规则。弗雷格的工作所具有的划时代意义是：我们能够写下有限多个基本的推理原则，使得所有的有效推理都能由这些基本推理规则组合而成。我们称这有限多个基本推理规则是完全的。这一理念进步对逻辑学和数学基础的发展都具有决定性意义。

弗雷格的《概念文字》毫无疑问开启了现代逻辑学的研究，且现在我们知道，他在其中列举出的推理规则的确对于数学证明而言是完全的。然而，对于这一事实的严格证明还需要许多数学家和逻辑学家的努力。事实上，如何以严格的方式问出这一问题在弗雷格的年代都并不明晰。到1928年，希尔伯特和德国数学家威廉·阿克曼（William Ackermann）在他们的著作《数理逻辑原理》（Grundzüge der theoretischen Logik）中更加严格地问出了证明规则完全性的问题。这一问题被库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）于1929年在其博士论文中解决，他证明了希尔伯特和阿克曼在上述著作中给出的证明规则是完全的。

从现代的角度来看，一套完全的推理规则由两部分组成：结构规则和逻辑连词的规则。结构规则中最重要的是“切割规则”（cut rule），它声明若有一个以 A 为前提 B 为结论的证明，且有一个以 B 为前提 C 为结论的证明，则可将这两个证明合起来构成一个以 A 为前提 C 为结论的证明。而有关逻辑连词的规则则与每个逻辑连词的使用方式有关：每个连词都对应着两个规则，即它的引入规则和消去规则。引入规则规定了我们如何证明一个带有该逻辑连词的语句，而消去规则规定了如何从带有这个逻辑连词的语句出发证明新的句子。现代逻辑学可以证明，结构规则加上每个逻辑连词对应的引入和消去规则对于所有的逻辑推理是完全的。由于数学语句中只涉及有限多个逻辑连词（合取、析取、否定、蕴含、存在、全部），因此证明规则也是有限的。

至此，我们对何为一个数学证明就有了一个清晰且严格的答案：数学证明所涉及的基本概念可选为集合和其之间的包含关系；对于集合我们有一套完整且确定的公理描述其性质；同时，我们有一套完全的证明规则，使得在集合论下所有可能的数学证明都能从集合论的公理出发，依照这些有效的推理原则证明得到。我们最后得到的这一系统原则上囊括了自数学发展以来所写下的——以及可见的未来内可能写下的——所有数学证明。按照现代逻辑学和数学的约定，我们把这一整套公理及证明系统记作 ZFC。

数学基础的不完全性

此时，让我们回到最开始的问题：我们能否知道所有的数学真理？如果我们认同人类知道任何数学真理的方式只能通过证明，那该问题就等价于，是否所有数学真理都能被证明？当我们确定了数学证明所选取的证明系统 ZFC，该问题也等价于问 ZFC 能否证明所有的数学真理？

答案是彻底的否定！某种意义上，这是现代逻辑最重要的结论之一。这一结论同样归功于哥德尔，有意思的是这一结论同样来自于他尝试回答希尔伯特所提出的另一个问题：一个数学证明系统能否证明自身无矛盾？

文章之前提到过，之所以数学家和逻辑学家花了大量的精力尝试给出集合论严格而确定的公理化，是因为对于一些集合直观的简单运用会立刻导致矛盾。这里未被讨论的问题是，那我们如何确定之后所写下的公理同样不会导致矛盾？如果所使用的证明系统能够推出矛盾，于数学而言这显然是巨大的灾难。

希尔伯特曾提出了他对于验证公理证明系统无矛盾的设想：我们应该能通过本质上“有限”的方法验证所选取的公理-证明系统无矛盾。哲学上对于何为“有限”有很多争论，但粗略地说，我们应该能仅仅通过一些有关计数的原则——这些原则我们应该能够通过直接计算进行验证——证明所选取的公理系统无矛盾。由此，希尔伯特希望可以毫无争议地确定数学证明系统不会产生矛盾。

然而，哥德尔的结论完全推翻了希尔伯特的设想。即使我们不仅仅局限于“有限”的手段，而将整个 ZFC 作为出发点，它也无法证明自身无矛盾。若我们相信 ZFC 是无矛盾的——这也是绝大部分数学家所相信的——这意味着我们所选取的公理系统无法证明所有的数学真理。这被称为数学基础的不完全性。

读者自然会问，这是否是由于我们所选取的公理是不完整的？若所选取的公理不完整，自然而然其无法证明所有的数学真理。事实上，哥德尔的结论证明了这不是公理选取多少的问题：只要所选取的公理集是可判定的（且具有足够的表达力），即有一个具体确定的规则告诉我们一个数学命题是否是一个公理，最后得到的公理系统都是不完全的。不满足这一条件的公理系统本质上是无法被数学家使用的，因为若无法有效地判定一个语句是否是一个公理，那如何运用公理进行数学证明呢？因此，我们不可能通过向 ZFC 增添新的公理的方式得到一个可用的且能证明所有数学真理的公理体系。

结语

基于数学基础的不完全性，我们该以什么样的方式面对现有的数学研究呢？许多数学家都认为，这些结论对于具体的数学工作是没有意义的。因为数学的重点不全在于证明新的定理，一部分也在于加深人类对理念和现实世界的理解——而这种理解不是通过对定理进行形式化地证明，而是通过创造新的概念、找出看似不同事物之间的关联而取得的。尽管 ZFC 原则上能够描述所有已知的数学证明，但在实际研究中，集合论就像一把大刀随意地将数学的对象切碎成末，加工成人类无法理解的碎片。好的数学应该是像柏拉图在《费德鲁斯篇》（Phaedrus）中所说，要“切在自然的关节处”：引入好的概念使得人的理解加深，而不单单是机械地证明更多定理。

笔者同意这样的看法，但也认为部分数学家可能没有意识到数学基础对于他们工作的潜在重要性。的确，大部分数学家的工作可能不会超出 ZFC 的能力，但随着数学的发展，数学家们必定会遇见他们推断为真——事实上也可能真的为真——但 ZFC 无法证明的命题。许多人可能会认为这样的情况不会出现：数学中任何“自然的”命题应该都能在 ZFC 中证明。然而，何为一个“自然”的命题并不清晰。希尔伯特在 1900 年巴黎数学家大会上提出了著名的 23 个问题，许多问题都深远地影响着数学之后一百多年的发展。其中的第一个问题有关康托的“连续统假设”，而哥德尔和美国数学家保罗·科恩（Paul Cohen）的工作说明该假设与 ZFC 独立，即 ZFC 不可证明也不可证否该假设。

当然，对于数学基础的探讨可能无法对目前大部分数学家的日常工作产生帮助，数学也的确不应该一直局限于对于数学基础的探讨当中，而更应该关注什么样的数学结构更能够揭示数学和自然界的真理。但随着数学的不断发展，我们有一天一定还会回到对数学基础的讨论中来，因为每个数学家工作的下一个问题都可能超出 ZFC 中的证明。那时，如哥德尔在其职业生涯后期一直所强调地那样，我们会需要新的公理——甚至是不再基于集合作为基本概念的新的数学基础。

注释

[1] 当然，依照现代数学的眼光，这并不构成一个严格的证明。不过有趣的是，现代逻辑学对证明的其中一种解释是博弈语义，它可以看作将证明理解为对话的理论基础。只不过对话的对象变成了抽象的“上帝”：如果你能说服上帝某个命题为真，那显然你就证明了它，否则全知全能的上帝一定能举出反例！

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