混沌效应：差之毫厘，谬以千里

前面跟网友们谈论人工智能能不能取代人的时候，提到了混沌效应。发现很多网友对混沌效应并不了解。鉴于混沌效应对于我们的现实世界影响是非常非常大，所以我觉得有必要科普一下。

大家在学了牛顿力学以后，应用牛顿第二定律时，如果已知物体所受的力和它的初始运动状态，则物体在此状态以前和以后的运动就是完全确定的。这类运动是可“重现”、可预报的。比如行星的运动可以预报，日蚀 月蚀与潮汐一样可以预见，对航天飞机 宇宙飞船 与导弹的运行可以勾划出准确的历程。经典物理学的这些光辉成就导致决定论的观点长期以来统治着宏观世界。

以至于到了18世纪法国数学家拉普拉斯把决定论思想发展到了顶峰，他有这样一段名言：

设想有位智者，在每一瞬间得知激励大自然的所有的力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多数据进行分析，把宇宙间的最庞大的物体和最轻微的原子包括于一个公式之中，那么对他来说，没有什么事情是不确定的，将来就像过去一样展现在他的眼前。

20世纪初，法国数学家物理学家庞加莱在研究了受到引力相互作用的三个星体（例如，一个恒星和两个行星）的轨道问题，他考虑到由初始点位置不同所引起轨道行为的差异，证明了轨道的复杂性。60年代以后人们又继续讨论了一些限制性的三体问题及其他非线性动力学方程的问题，证明了这些方程的非线性项带来了系统的混沌行为，表现出对初值改变的敏感性，系统呈现出长时间行为的不确定性和随机性，从而冲破了牛顿力学的决定论观点，揭示出牛顿力学也具有内在的随机性。

近30年来，人们不仅在自然界和实验室中观察到了许多混沌现象，而且认识到混沌产生的条件、所经历的途径及其特征，在理论上发现了一些有关产生混沌现实的普遍规律。有人认为混沌理论是继相对论、量子论之后，20世纪物理学的第三个最大的革命。

下面就用蝴蝶效应来举例说明混沌理论。

1961年，美国气象学家洛伦茨用一台真空管计算机，根据他导出的12个气象演变的动力学方程，按照初始条件来计算，从而预测气候将来的发展。

有一天，已算得了一个解，洛伦茨想了解此解的长期行为，为节省时间，他不再从头算起，而是把记录下来的中间数据当做初始值输入。他本指望计算机会重复给出上次计算的后半段结果，然后接下来算新的，却未料到，经过一段重复过程后，计算就逐渐偏离了上次的结果。

他决定仔细看一下，两次原本十分相同的气候流程是如何相差越来越大的。他先把第一次输出的波纹打印到一张透明薄片上，又把第二次输出的波纹打印在第二张透明薄片上，然后把两张透明薄片重叠，这样来看此波纹如何由前段的重合变到后来的发散分离。

结果发现；开始有两个隆起部分相重叠，后来其中一条波线开始滞后一根头发丝的距离，随着时间的推移，当两条波线到达下一个隆起时，完全走了样。而在第三个第四个隆起时，已根本无任何相似之处了，仿佛是完全不相干，随机选取的两类气候了。

这时，洛伦茨的第一个想法是计算机出了问题，因为此前他的计算机经常坏。

不过，很快洛伦茨就意识到，问题出在他输入的数据上。计算机存储的是六位小数：0.506127，而打印出来只有三位：0.506   。他第二次输入用的是后者。他以为千分之一不到的误差无关紧要。按照传统的思维方式考虑，也确实应该这样。

洛伦茨的计算机中装的是经典的程序，使用的是纯粹决定性的方程组。给定一个特定的起点，每次这个气象便严格的由这个特定的起点按照同一方式展开。一个小小的数字误差，仿佛是吹过一阵微风，显然一个微风不会造成什么大范围的气候后果，因为在引起这些后果之前，它们已经消失了，或者相互抵消了。

然而，今天的情形不同了，在洛伦茨的这一特定的方程组中，小的误差带来了巨大的差异。

洛伦茨认识到，他的方程是非线性的，这些方程并不具有传统数学想象的那种行为，而是对初值高度敏感的。他为这种现象取了个名字，叫蝴蝶效应。意思是说，一只蝴蝶今天拍打了一下翅膀，使大气的状态产生微小的改变，但过了一段时间，例如一个月，本来会横扫印度尼西亚海岸的一场龙卷风避免了，或者本来不该有的却发生了。

洛伦茨用这个比喻的意思是说，一个小地区的小气候会影响全球的大气候，本来微细的事件，经过曲折的历程之后，会形成在其他大洲上空‘山雨欲来风满楼’的景象。

洛伦茨看出了在气候不能精确重演与预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是物理系统的非周期行为与它的不可预见性之间的联系。

洛伦茨的结论是长期的天气预报是不可能的！何谓长期，他当时的回答是几天到几十天。

现在看来，大约两天之内的天气预报是比较可信的，三天以上的天气预报可信度就很低，大约一周以后的天气准确预报是不可能的。

必须要跟大家指出的是，不能把混沌现象等同于混乱和无规律，混沌是有其演化途径并遵循一定规律的。非线性系统是通过一系列倍周期分叉进入混沌状态的。

1978年，美国物理学家费根鲍姆发现了混沌效应中 倍周期分叉的一些性质。在周期倍增分叉中，前一次的分叉宽度大约是下一次分叉宽度的2.5029倍。而且越到后来越精确。整个混沌系统的运行在越来越小的尺度上重复出现近似的自相似结构，由大到小的自相似的缩小比率就是一个普适的费根鲍姆数。

费根鲍姆数反映出通向混沌道路中的有序性。

混沌是有规律的，不是混乱的，所以有人这样定义混沌；混沌是非周期的有序性，或混沌是确定性的非周期流。也就是说，混沌并不是简单的有序态，而是一种没有确定周期性和明显对称性的有序态。